Among the numerous homotopy invariants the category of Lusternik-Schnirelmann , or LS-category, of a topological space has aroused much interest since its definition in 1934. For example it was shown that it is related to another invariant: the cone-length of a space. Moreover LS-category can be extended to continuous maps in three different ways, thus generating the F-category, the R-category and the LS-category of a map, which are analogous to the sectional category of a fibration. Finally Félix and Halperin gave a new dimension to the LS-category by transferring it into the context of rational homotopy theory: they gave a method to compute its rationalization directly in the category of commutative cochain algebras (in short: cca's). They also rationalized the F-category of a map.
In this thesis we are particularly interested in relative invariants of the type of the LS-category, such as F-category, R-category, LS-category, sectional category and cone-length of a map. In chapter 1 we introduce a few tools which are very useful to define the various relative categories: homotopy push-outs, homotopy pull-backs and joins. Then we give a brief description of rational homotopy theory in chapter 2: we state the equivalence of categories underlying it which links topological spaces and commutative cochain algebras (in short: cca's). We also define (relative) Sullivan algebras, which are particularly nice to deal with, and can be used as building blocks when modelizing some topological constructions such as joins.
Chapter 3 is devoted on the one hand to a description of the original LS- category and cone-length. In particular we give three equivalent definitions of the LS-category: in terms of coverings, of fat wedges and of Ganea maps, constructed by taking consecutive joins. We also give bounds for the LS- category and the cone-length of a product of spaces. On the other hand we introduce the F-category, the R-category and the LS-category of maps, giving for each of them three equivalent definitions, as well as the cone-length of a map.
In chapter 4 we find a bound for the cone-length of a product of maps and use it to obtain bounds for the F-category, the R-category and the LS-category of a product of maps.
Chapter 5 contains a summary of part of a paper from Félix and Halperin giving a rationalization of the absolute LS-category and of the F-category and their characterization directly in the rational context. We then introduce a rationalization of the R-category and the relative LS-category and we state our main theorem, allowing to compute them directly in the cca setting.
We give a proof of this assertion in chapter 6 by defining Ganea algebras and Ganea morphisms modelling Ganea spaces and maps.
Some applications of the main theorem are given in chapter 7: we show that the R-category can take up any value, and we simplify our main result in case the map being considered is the inclusion of a fibre. Moreover we prove that the rational relative category of a spherical fibration does not depend only on the order of its Euler class as it is the case for its rational sectional category.
Finally we devote our last chapter to the study of a new homotopy invariant: the sectional category of a sequence of maps, which generalizes both the sectional category of a fibration and the R-category. In this case as for the classical LS-category we give three equivalent definitions in terms of coverings, of generalized fat wedges and of generalized Ganea spaces. Moreover we rationalize the new invariant and prove a theorem allowing its direct computation in the rational setting.
Wir studieren relative Homotopie-Invarianten des Types der Kategorie von Lusternik-Schnirelmann, und zwar die F-Kategorie, die R-Kategorie, die LS- Kategorie, die Schnittkategorie und die Kegellänge einer stetischen Abbildung. Wir führen auch einen neuen Homotopieinvarianten ein: die Schnittkategorie einer Folge von Abbildungen.
Im ersten Kapitel führen wir einige Werkzeuge ein, die sehr nützlich sind, um die verschiedenen relativen Kategorien zu definieren: Homotopie Push-outs, Homotopie Pull-backs und Joins. Danach geben wir eine kurze Beschreibung der razionellen Homotopietheorie : wir drücken die zugrundeliegende Kategorienäquivalenz aus, die topologische Räume und kommutative Kokettenalgebren (cca's) verbindet. Wir definieren auch die (relativen) Sullivan Algebren, die man als Ziegelsteine benutzen kann, wenn man einige topologische Aufbauen wie Joins modelliert.
Im drittem Kapitel beschreiben wir zuerst die originellen LS-Kategorie und Kegellänge. Wir geben besonders drei äquivalente Definitionen von LS- Kategorie: durch Überdeckungen, durch Fat Wedges und durch Ganea Abbildungen, die durch aufeinanderfolgende Joins aufgebaut werden. Wir geben auch Grenzen für die LS-Kategorie und Kegellänge eines Produkts von Räumen. Im zweitem Teil des Kapitels führen wir drei relative Invarianten ein, die die LS-Kategorie ausweiten: die F-Kategorie, die R-Kategorie und die LS-Kategorie. Wir geben für jede drei äquivalente Definitionen, dann führen wir die Kegellänge einer Abbildung ein, die die originelle Kegellänge verallgemeinert.
Im Kapitel 4 finden wir eine Grenze für die Kegellänge eines Produkts von Abbildungen und wir benutzen sie, um Grenzen für die F-Kategorie, die R-Kategorie und die LS-Kategorie eines Produkts von Abbildungen zu erhalten.
Kapitel 5 enthaltet eine Zusammenfassung eines Teils eines Artikels von Félix und Halperin, die eine Razionalisierung der absoluten LS-Kategorie und der F-Kategorie und ihre direkte Charakterisierung im razionellen Zusammenhang gibt. Danach führen wir eine Razionalisierung der R-Kategorie und der LS- Kategorie einer Abbildung ein, und wir drücken unseren Haupttheorem aus, der uns erlaubt, diese Kategorien direkt im cca Zusammenhang zu bestimmen.
Wir geben einen Beweis dieser Behauptung im Kapitel 6, damit wir Ganea Algebren und Morphismen definieren, die die Ganea Räume und Abbildungen modellieren.
Einige Einwendungen des Haupttheorems werden im Kapitel 7 gegeben: wir zeigen, daß die R-Kategorie irgendein Wert erreichen kann, und wir vereinfachen unser Hauptergebnis, wenn die betrachtete Abbildung die Inklusion einer Faser ist. Auß erdem beweisen wir, daß die rationelle relative Kategorie einer sphärischen Faserung nicht nur von dem Ordnung ihrer Eulerklass abhängt, so wie im Fall der rationelle Schnittkategorie passiert.
Endlich widmen wir unseren letzten Kapitel dem Studium eines neues Homotopieinvariants: die Schnittkategorie einer Folge von Abbildungen, die beide die Schnittkategorie einer Faserung und die R-Kategorie verallgemeinert.. In diesem Fall, so wie für die klassische LS-Kategorie, geben wir drei äquivalente Definitionen durch Überdeckungen, durch verallgemeinerte Fat Wedges und durch verallgemeinerte Ganea Räume. Außerdem rationalisieren wir den neuen Invariant und wir beweisen einen Theorem, der seine direkte Rechnung im rationalen Zusammenhang erlaubt.