Mean Curvature Flow of Cylindrical Graphs

Abstract

In this thesis we investigate the mean curvature flow of entire cylindrical graphs evolving in euclidean space. Mean curvature flow (MCF) is an evolutionary process on a family of hypersurfaces in which each point on the hypersurface moves with velocity equal to the mean curvature vector at that point. Mean curvature flow of cylindrical graphs is equivalent (up to tangential diffeomorphisms) to a quasi-linear parabolic partial differential equation. The partial differential equation is uniformly parabolic if the gradient is bounded and the evolution of the surface stays away from the cylinder axis. We obtain geometric evolution equations for the height, gradient and curvature functions, defined on the evolving hypersurface. We will finely tune these equations using specially chosen test- and cutoff- functions, rendering the evolution equations exploitable by the maximum principle, allowing us to derive estimates on important geometric quantities. We derive interior height, gradient and curvature estimates for cylindrical graphical surfaces evolving by mean curvature flow, used to obtain a short- time existence result for the flow. Estimates are also derived using barrier solutions which allow us to obtain long-time existence for the evolution cylindrical graphs. The main result of this thesis is that there exist certain entire, initially graphical surfaces over cylinders which remain entire cylindrical graphs under mean curvature flow. Furthermore, there exist entire cylindrical graphs which converge smoothly under a suitable rescaling to homothetically expanding graphical solutions. The proof of this result is in the spirit of the similar result of Ecker and Huisken for entire planar graphs, and uses the uniform height, gradient and curvature estimates.

In dieser Doktorarbeit wird der Mittlere Krümmungsfluss von kompletten zylindrischen Graphen, die sich im euklidischen Raum bewegen, dargestellt. Der Mittlere Krümmungsfluss (MKF) ist ein evolutionärer Prozess aus einer Familie der Hyperfläche, wobei sich jeder Punkt auf der Hyperfläche mit der gleichen Geschwindigkeit wie der Mittlere Krümmungsvektor bewegt. Der (MKF) von zylindrischen Graphen ist (bis zu tangentialen Diffeomorphismen) äquivalent mit einer quasilinearen, parabolischen partiellen Differentialgleichung. Die Differentialgleichung ist gleichmäßig parabolisch, wenn der Gradient beschränkt ist und die Bewegung der Fläche die Zylinderachse nicht berührt. Die geometrischen Bewegungsgleichungen für die Höhe, den Gradienten und die Krümmungsfunktionen werden gefunden, die auf der beweglichen Hyperfläche definiert sind. Für zylindrische, graphische Flächen, die sich im Mittleren Krümmungsfluss(MKF) bewegen, werden innere Abschätzungen für die Höhe, den Gradienten und die Krümmungen gefunden, und die Existenz des Flusses wird hierdurch für eine kurze Zeitspanne bewiesen. Abschätzungen werden auch durch Barrierlösungen gefunden, welche die Existenz der Bewegung zylindrischer Graphen über eine lange Zeitspanne sichern. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass bestimmte anfangs graphische Flächen über Zylindern existieren, welche unter dem Mittleren Krümmungsfluss (MKF) zylindrische Graphen bleiben. Desweiteren existieren glatte zylindrische Graphen, welche unter einer geeigneten Skalierung gegen homothetisch expandierende Lösungen konvergieren. Der Beweis dieses Resultats wurde durch ähnliche Resultate von Ecker und Huisken für planare Graphen inspiriert, und nutzt die gleichmäßige Höhe, den Gradienten und die Krümmungs- Abschätzungen