Modelling and Simulating of Classical and Non-Classical Diffusion Processes by Random Walks

Abstract

In this thesis we discuss the equation of one-dimensional space-time fractional diffusion with drift.

In Chapter 3, discrete approximations to time-fractional diffusion processes, (alpha = 2) with drift towards the origin are obtained as explicit and implicit difference schemes and as a random walk models. We have simulated these random walk models and given numerical results for the discrete approximations. Then we discuss the convergence of the discrete solutions to the stationary solutions of the model. Numerical solutions are displayed for central linear drift and for cubic central drift. Furthermore we discuss in detail the relations to the classical Ehrenfest model which is described carefully in Chapter 2.

In Chapter 4, we give a survey of the theory of continuous time random walk. We show how the above space-time-time-fractional diffusion equation, with F(x)=0, can be obtained from the integral equation for a continuous time random walk or from that describing a cumulative renewal process, through well-scaled limits of vanishing waiting times and jumps. We simulate the random walk models for different values of fractional orders alpha and eta. Then we use a transformation of the independent variables x and t to simulate the random walk for space-fractional diffusion with central linear drift (i. e. F(x) = -x and eta=1). The simulation shows how jumps and waiting times are somehow compressed with respect to the case of no drift. We generalize the transformation theorem to the case of non-symmetric spatial operators.

Finally in Chapter 5, we give mathematical proofs for convergence of discrete solutions of space-time-fractional diffusion without and with central linear drift to the solution of the above equation for integer and fractional values of alpha and eta in the Fourier-Laplace domain. The numerical solutions are obtained by explicit and implicit difference schemes, and the simulations of random walks are made by the Monte-Carlo method.

In dieser Dissertation diskutieren wir die eindimensionale gebrochene (fractional) Diffusionsgleichung mit Drift.

In Kapitel 3 werden diskrete Approximationen für zeit-gebrochene Diffusionsprozesse mit ursprungsorientierter Drift in Form von expliziten und impliziten Differenzenschemata und in Form von random-walk-Modellen gewonnen. Wir haben diese random-walk-Modelle simuliert und numerische Ergebnisse für die Differenzenverfahren gegeben. Dann diskutieren wir die Konvergenz der diskreten Lösungen gegen de stationären Lösungen des Modells. Ausserdem diskutieren wir im Detail die Beziehungen zum klassischen Ehrenfest-Modell, das wir in Kapitel 2 sorgfältig beschrieben haben.

In Kapitel 4 geben wir eine Übersicht über die Theorie des continuous time random walk. Wir zeigen, wie die oben stehende gebrochene Diffusionsgleichung im Spezialfall (F(x) = 0) aus der Integralgleichung für continuous time random walk oder der für einen kumulativen Erneuerungsprozess durch wohl-skalierten Grenzübergang verschwindender Wartezeiten und Sprünge hergeleitetet werden kann. Wir simulieren die Modelle für verschiedene Werte der Parameter alpha und eta. Dann benutzen wir eine Transformation der unabhängigen Variablen x und t zur Simulation des random walk für räumlich Diffuson mit zentraler linearer Drift ( F(x) = - x and eta = 1 ) . Die Simulation zeigt, wie Sprünge und Wartezeiten komprimiert werden im Vergleich zum Fall mit keiner Drift. Wir verallgemeinern den Transformationssatz auf die Situation nicht-symmetrischer räumlicher inverser Riesz-Feller-Operatoren.

Schliesslich geben wir in Kapitel 5 Beweise für Konvergenz diskreter Lösungen der oben stehenden raum-zeitlich gebrochener Diffusion mit und ohne zentrale lineare Drift gegen die exakte Lösung für den angegebenen Parameterbereich. Hierzu arbeiten wir mit der kombinierten Fourier-Laplace-Transformation.

Die numerischen Lösungen erhalten wir mit expliziten und impliziten Differenzenverfahren, die random-walk-Simulationen werden mit der Monte-Carlo- Methode durchgeführt.

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