The purpose of this thesis is the investigation of an extension of the Ricci flow system. The Ricci flow is a geometric evolution equation describing the evolution of a Riemannian metric g in the direction of its Ricci tensor. It has been introduced by Richard Hamilton in 1982. We extend this system by adding the heat equation for a function u (w.r.t. the evolving metric). The new equations provide a link between the Ricci flow and general relativity in the following sense: Time independent solutions of the full hyperbolic Einstein equations, so called static metrics, satisfy an elliptic system of equations on a spacelike slice of space-time. The full space-time metric is given by pairs (g,u) where g is the metric on the hypersurface and u is the logarithm of the lapse function. This function can be thought of as the velocity of the slice in time direction. We prove that our new system is equivalent to the L2-gradient flow of an entropy E with respect to some measure which is fixed in time. Therefore the stationary points of the flow correspond to solutions of the static Einstein vacuum equations. We prove short time existence on closed and complete noncompact manifolds and raise the question when short time solutions can be extended. An important tool to answer this and other questions is our proof of a range of a priori estimates for the curvature of g(t), for u(t) and for all higher derivatives. We get that we can extend a solution whenever the curvature of the metric is bounded. This is a necessary and sufficient condition. In addition, we deduce a monotonicity formula for an important modification of the entropy E. As an application we prove that periodic solutions of our system must be solitons. These are solutions which differ in time only by the action of diffeomorphisms. Another even more important application of the monotonicity formula shows that the solution cannot collapse locally in a certain geometric sense. This is crucial in the study of singularity formation. Using this result and a compactness theorem, we show that the solution can always be rescaled parabolically at a singularity. The rescaling limit has several nice properties. It exists for all negative times, is complete, and noncollapsed. Furthermore it is a solution to the Ricci flow which are already well understood. In the last chapter we proof that an asymptotic decay of the initial data is preserved by the flow as long as there is a curvature bound. In particular this can be applied to asymptotically flat initial data. Therefore the solution remains asymptotically flat in the same sense as long as it exists. In addition the mass of the solution stays constant for all finite times.
Wir untersuchen in dieser Dissertation eine Erweiterung des Ricci-Flusses, einer geometrischen Evolutionsgleichung, die 1982 von Richard Hamilton eingeführt wurde. Diese Gleichung beschreibt die Evolution einer Riemannschen Metrik g in Richtung ihres Ricci-Tensors. Unter Hinzunahme der Wärmeleitungsgleichung für eine Funktion u (bezüglich der sich verändernden Metrik) erhält man ein erweitertes System von partiellen Differentialgleichungen. Dieses System stellt eine Verbindung des Ricci- Flusses zur Allgemeinen Relativitätstheorie wie folgt her. Zeitunabhängige Lösungen der Einsteingleichungen, so genannte statische Metriken, lassen sich als Lösungen eines elliptischen Systems auf einer raumartigen Hyperfläche der Raumzeit beschreiben. Die Raumzeitmetrik wird dann durch Paare (g,u) charakterisiert, wobei g die Metrik auf der Hyperfläche und u der Logarithmus der Lapsefunktion ist. Diese läßt sich als Geschwindigkeit der Hyperfläche in Zeitrichtung auffassen. Wir beweisen, dass unser neues System äquivalent zum L2-Gradientenfluss einer Entropie E bezüglich eines zeitlich fixierten Maßes ist. Die stationären Punkte entsprechen dann Lösungen der statischen Einstein- Vakuum Gleichungen. Nach dem Beweis der Kurzzeitexistenz auf geschlossenen und vollständigen nichtkompakten Mannigfaltigkeiten widmen wir uns der Frage, unter welchen Bedingungen die Kurzzeitlösungen fortgesetzt werden können. Als wichtiges Hilfsmittel für diese und weitere Fragen zeigen wir umfangreiche innere a priori-Abschätzungen für die Krümmung von g(t), für u(t) und für alle höheren Ableitungen. Es folgt, dass die Beschränktheit der Krümmung die notwendige und hinreichende Bedingung für die Fortsetzbarkeit darstellt. Weiterhin zeigen wir eine Monotonieformel für eine wichtige Modifikation der Entropie E. Als Anwendung beweisen wir, dass periodische Lösungen unseres Systems bereits Solitonen sein müssen, also Lösungen, die sich in der Zeit nur durch Diffeomorphismen unterscheiden. Eine weitere wichtige Anwendung der Monotonieformel beweist, dass Lösungen in endlicher Zeit in einem geometrischen Sinn nicht kollabieren können. Dies ist sehr wichtig für die Untersuchung von Singularitäten. Mit Hilfe dieses Ergebnisses und eines Kompaktheitsatzes können wir zeigen, dass eine Lösung an jeder Singularität reskaliert werden kann. Dabei hat der Limes dieser Reskalierungen einige nützliche Eigenschaften. Er existiert für alle negativen Zeiten, ist vollständig und nichtkollabiert. Darüber hinaus ist er eine Lösung des Ricci- Flusses, die bereits gut verstanden sind. Im letzten Kapitel zeigen wir, dass ein asymptotisches Abfallverhalten der Anfangsdaten erhalten bleibt, solange man eine Krümmungsschranke hat. Insbesondere können wir folgern, dass der Fluss für asymptotisch flache Anfangsdaten auch asymptotisch flach bleibt solange die Lösung existiert. Dabei bleibt die Masse der Anfangsdaten unter der Evolution erhalten.
