dc.contributor.author
List, Bernhard
dc.date.accessioned
2018-06-08T01:05:16Z
dc.date.available
2006-03-14T00:00:00.649Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/12905
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-17103
dc.description
Title and content 0 Introduction iii 0.1 Geometric evolution equations of
parabolic type iii 0.2 Hamilton's Ricci flow iv 0.3 Main results for the
extended system v
1 Preliminaries 1
1.1 Notation and conventions 1 1.2 Static vacuum solution of the Einstein
equations 2 1.3 Conformal transformations 4 1.4 Evolution of a
Riemannian metric 5
2 Entropy and evolution equations 7
2.1 Entropy 7
2.2 The flow equations 10
2.3 Entropy and evolution in arbitrary dimensions 11
2.4 Warped product flows 12
2.5 Evolution equations 13
2.6 Monotonicity of the entropy 18
2.7 Evolution of the curvature tensor 19
3 Short time existence 26
3.1 The boundary value problem 26
3.2 Equivalence of the metrics g(t) 28
3.3 Higher order estimates 35
3.4 Short time existence on complete manifolds 43
3.5 Global estimates for complete solutions 44
4 The monotonicity formula 58
5 Nonexistence of periodic solutions 62
6 Interior estimates for the flow 71
6.1 Preparations 71
6.2 Estimates for the lapse function 76
6.3 Interioir a priori estimates 82
6.4 Long time existence 87
7 Controlling the injectivity radius 92
8 Finite-time singularities 96
8.1 A compactness property 96
8.2 Rescaling the flow near singularities 102
9 Asymptotic flat solutions 105
References 112
dc.description.abstract
The purpose of this thesis is the investigation of an extension of the Ricci
flow system. The Ricci flow is a geometric evolution equation describing the
evolution of a Riemannian metric g in the direction of its Ricci tensor. It
has been introduced by Richard Hamilton in 1982. We extend this system by
adding the heat equation for a function u (w.r.t. the evolving metric). The
new equations provide a link between the Ricci flow and general relativity in
the following sense: Time independent solutions of the full hyperbolic
Einstein equations, so called static metrics, satisfy an elliptic system of
equations on a spacelike slice of space-time. The full space-time metric is
given by pairs (g,u) where g is the metric on the hypersurface and u is the
logarithm of the lapse function. This function can be thought of as the
velocity of the slice in time direction. We prove that our new system is
equivalent to the L2-gradient flow of an entropy E with respect to some
measure which is fixed in time. Therefore the stationary points of the flow
correspond to solutions of the static Einstein vacuum equations. We prove
short time existence on closed and complete noncompact manifolds and raise the
question when short time solutions can be extended. An important tool to
answer this and other questions is our proof of a range of a priori estimates
for the curvature of g(t), for u(t) and for all higher derivatives. We get
that we can extend a solution whenever the curvature of the metric is bounded.
This is a necessary and sufficient condition. In addition, we deduce a
monotonicity formula for an important modification of the entropy E. As an
application we prove that periodic solutions of our system must be solitons.
These are solutions which differ in time only by the action of
diffeomorphisms. Another even more important application of the monotonicity
formula shows that the solution cannot collapse locally in a certain geometric
sense. This is crucial in the study of singularity formation. Using this
result and a compactness theorem, we show that the solution can always be
rescaled parabolically at a singularity. The rescaling limit has several nice
properties. It exists for all negative times, is complete, and noncollapsed.
Furthermore it is a solution to the Ricci flow which are already well
understood. In the last chapter we proof that an asymptotic decay of the
initial data is preserved by the flow as long as there is a curvature bound.
In particular this can be applied to asymptotically flat initial data.
Therefore the solution remains asymptotically flat in the same sense as long
as it exists. In addition the mass of the solution stays constant for all
finite times.
de
dc.description.abstract
Wir untersuchen in dieser Dissertation eine Erweiterung des Ricci-Flusses,
einer geometrischen Evolutionsgleichung, die 1982 von Richard Hamilton
eingeführt wurde. Diese Gleichung beschreibt die Evolution einer Riemannschen
Metrik g in Richtung ihres Ricci-Tensors. Unter Hinzunahme der
Wärmeleitungsgleichung für eine Funktion u (bezüglich der sich verändernden
Metrik) erhält man ein erweitertes System von partiellen
Differentialgleichungen. Dieses System stellt eine Verbindung des Ricci-
Flusses zur Allgemeinen Relativitätstheorie wie folgt her. Zeitunabhängige
Lösungen der Einsteingleichungen, so genannte statische Metriken, lassen sich
als Lösungen eines elliptischen Systems auf einer raumartigen Hyperfläche der
Raumzeit beschreiben. Die Raumzeitmetrik wird dann durch Paare (g,u)
charakterisiert, wobei g die Metrik auf der Hyperfläche und u der Logarithmus
der Lapsefunktion ist. Diese läßt sich als Geschwindigkeit der Hyperfläche in
Zeitrichtung auffassen. Wir beweisen, dass unser neues System äquivalent zum
L2-Gradientenfluss einer Entropie E bezüglich eines zeitlich fixierten Maßes
ist. Die stationären Punkte entsprechen dann Lösungen der statischen Einstein-
Vakuum Gleichungen. Nach dem Beweis der Kurzzeitexistenz auf geschlossenen und
vollständigen nichtkompakten Mannigfaltigkeiten widmen wir uns der Frage,
unter welchen Bedingungen die Kurzzeitlösungen fortgesetzt werden können. Als
wichtiges Hilfsmittel für diese und weitere Fragen zeigen wir umfangreiche
innere a priori-Abschätzungen für die Krümmung von g(t), für u(t) und für alle
höheren Ableitungen. Es folgt, dass die Beschränktheit der Krümmung die
notwendige und hinreichende Bedingung für die Fortsetzbarkeit darstellt.
Weiterhin zeigen wir eine Monotonieformel für eine wichtige Modifikation der
Entropie E. Als Anwendung beweisen wir, dass periodische Lösungen unseres
Systems bereits Solitonen sein müssen, also Lösungen, die sich in der Zeit nur
durch Diffeomorphismen unterscheiden. Eine weitere wichtige Anwendung der
Monotonieformel beweist, dass Lösungen in endlicher Zeit in einem
geometrischen Sinn nicht kollabieren können. Dies ist sehr wichtig für die
Untersuchung von Singularitäten. Mit Hilfe dieses Ergebnisses und eines
Kompaktheitsatzes können wir zeigen, dass eine Lösung an jeder Singularität
reskaliert werden kann. Dabei hat der Limes dieser Reskalierungen einige
nützliche Eigenschaften. Er existiert für alle negativen Zeiten, ist
vollständig und nichtkollabiert. Darüber hinaus ist er eine Lösung des Ricci-
Flusses, die bereits gut verstanden sind. Im letzten Kapitel zeigen wir, dass
ein asymptotisches Abfallverhalten der Anfangsdaten erhalten bleibt, solange
man eine Krümmungsschranke hat. Insbesondere können wir folgern, dass der
Fluss für asymptotisch flache Anfangsdaten auch asymptotisch flach bleibt
solange die Lösung existiert. Dabei bleibt die Masse der Anfangsdaten unter
der Evolution erhalten.
de
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
geometric evolution equation
dc.subject
static Einstein vacuum metrics
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::510 Mathematik
dc.title
Evolution of an extended Ricci flow system
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Gerhard Huisken
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Klaus Ecker
dc.date.accepted
2006-02-23
dc.date.embargoEnd
2006-03-16
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000002074-1
dc.title.translated
Evolution eines erweiterten Ricci-Fluss Systems
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
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FUDISS_thesis_000000002074
refubium.mycore.transfer
http://www.diss.fu-berlin.de/2006/180/
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000002074
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open access