Lattice Quantum Field Theories with Quantum Symmetry

Abstract

In low dimensional quantum field theories the global (gauge) symmetry can in general not be described by an ordinary group but by some more general algebraic object such as quantum groups or generalizations thereof. In this thesis we construct 1+1 - dimensional lattice quantum field theories - socalled quantum group spin chains and lattice current algebras - whose global symmetry is given by some quantum group at roots of unity.

The main problem in constructing these models stems from the fact that the semisimple quotients of quantum groups at roots of unity are no longer coassiciative and have to be described by weak quasi-quantum groups. To solve this problem we introduce a new mathematical construction, the so-called diagonal crossed product of an algebra M with the dual of a quantum group G. We give a natural generalization of this construction to the case where G is a quasi-Hopf algebra in the sense of Drinfeld and, more generally, also in the sense of Mack and Schomerus (i.e., where the coproduct is non-unital). In these cases our diagonal crossed product will still be an associative algebra, even though the analogue of an ordinary crossed product in general is not well defined as an associative algebra.

In the case M = G we obtain an explicit definition of the quantum double D(G) for (weak) quasi-Hopf algebras G. We prove that D(G) is itself a (weak) quasi- triangular quasi-Hopf algebra and we give explicit formulas for the coproduct, the antipode and the R-matrix. Moreover we show that any diagonal crossed product naturally admits a two-sided D(G)-coaction.

We then apply our formalism to construct quantum spin chains and lattice current algebras based on a weak quasi-Hopf algebra as iterated diagonal crossed products. This contains the important cases of truncated quantum groups at roots of unity. Both lattice models admit the quantum double D(G) as a localized cosymmetry. We investigate the representation theory of these models. In particular we show that irreducible representations of lattice current algebras (based on a semisimple weak quasi Hopf algebra G) are in one- to-one correspondence with the irreducible representations of the quantum double D(G).

Quantenfeldtheorien in niederen Raum-Zeit-Dimensionen (kleiner als 4) zeigen das Phänomen der Quantensymmetrie, d.h. die globale (Eich-)Symmetrie läßt sich nicht mehr durch eine Gruppe beschreiben, sondern man benötigt allgemeinere allgebraische Objekte wie zum Beispiel Quantengruppen. In dieser Arbeit werden 1+1 dimensionale Gitterquantenfeldtheorien - sogenannte Quantengruppenspinketten und Gitterstromalgebren - konstuiert, deren globale Symmetrie durch Quantengruppen an den Einheitswurzeln gegeben ist.

Die Hauptschwierigkeit bei dieser Konstruktion rührt von der Tatsache her, daß die halbeinfachen Quotienten von Quantengruppen an den Einheitswurzeln nicht mehr koassoziativ sind. Sie besitzen die Struktur einer schwachen Quasi- Quantengruppe. Wir führen deswegen eine neue mathematische Konstruktion, das sogenannte diagonale verschränkte Produkt einer Algebra M mit der dualen einer Quantengruppe G ein. Diese Konstruktion läßt sich auf natürliche Weise auf Quasi-Hopfalgebren im Sinne von Drinfeld oder noch allgemeiner im Sinne von Mack and Schomerus (i.e. mit nicht unitalem Koprodukt) verallgemeinern. In diesen Fällen ergibt unser diagonales verschränktes Produkt immer noch eine assoziative Algebra obwohl eine entsprechende Verallgemeinerung des gewöhnlichen verschränkten Produkts im allgemeinen zu keiner wohldefinierten assoziativen Algebra führt.

Der Fall M = G führt zu einer Definition des Quantendoppels D(G) einer (schwachen) Quasi-Hopfalgebra G. Wir zeigen, daß D(G) selbst eine schwache quasitrianguläre Quasi-Hopfalgebra ist. Wir geben explizite Formeln für das Koprodukt, für die Antipode und für die R-Matrix an. Außerdem zeigen wir, daß jedes diagonale verschränkte Produkt auf natürliche Weise eine zweiseitige D(G)-Kowirkung besitzt.

Dann benutzen wir unseren Formalismus zur Konstruktion von Quantenspinketten und Gitterstromalgebren als iterierte diagonale verschränkte Produkte und erreichen so unser Ziel der Konstruktion dieser Modelle an den Einheitswurzeln. Auf beiden Gittermodellen wirkt das Quantendoppel als lokalisierte Kosymmetrie. Zum Schluß untersuchen wir die Darstellungstheorie der konstruierten Quantenketten. Insbesondere zeigen wir, daß die irreduziblen Darstellungen einer Gitterstromalgebra eineindeutig den irreduziblen Darstellungen des Quantendoppels D(G) der zugrundegelegten schwachen Quasi- Hopfalgebra G zugeordnet werden können.