Die in der Cauchy-Pompeiu-Formel höherer Ordnung auftretenden Integralkerne werden durch geeignete Ableitungen der Greenschen Funktion höherer Ordnung ersetzt. Für ein reguläres Gebiet entstehen auf diese Weise Integraldarstellungen, welche explizite direkte Zerlegungen des klassischen Hilbertraumes der messbaren, quadratintegrierbaren, komplexwertigen Funktionen bezüglich des Kernes eines Operators, der aus einer Kombination von Cauchy- Riemann- und Anti-Cauchy-Riemann-Operatoren höherer Ordnung besteht, liefern. Die Bestimmung des jeweiligen orthogonalen Komplements ist dabei ein wesentliches Ergebnis.
Neben der Angabe dieser allgemeinen Zerlegungen werden speziell mittels der Bergmanschen Kernfunktionen höherer Ordnung, die analog zum Fall erster Ordnung durch bestimmte Differentiationen der Greenschen Funktionen höherer Ordnung gewonnen werden können, Integraldarstellungen entwickelt. Mit diesen Darstellungen können dann explizite orthogonale Zerlegungen des oben genannten Hilbertraums bezüglich polyanalytischer und polyantianalytischer Funktionen angegeben werden.
Darüberhinaus wird analog zur Cauchy-Pompeiu-Formel höherer Ordnung im Falle eines einzelnen Gebietes für komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher unter gewissen Differenzierbarkeitsbedingungen eine allgemeine Integraldarstellung höherer Ordnung in Poly-Gebieten entwickelt. Mit deren Hilfe können dann obige Ergebnisse durch komponentenweise Auswertung auf Poly- Gebiete verallgemeinert werden. Beispielsweise werden Integraldarstellungen für Poly-Gebiete mit Bergmanschen Kernen höherer Ordnung formuliert. Mit diesen Darstellungen können dann explizite orthogonale Zerlegungen der entsprechenden Hilberträume in den Teilraum der polyplurianalytischen bzw. polypluriantianalytischen Funktionen und die jeweiligen orthogonalen Komplemente angegeben werden. Wie im speziellen Fall der Darstellung mittels Bergmanscher Kerne höherer Ordnung in Poly-Gebieten ist auch im allgemeinen Fall die Angabe des jeweiligen orthogonalen Komplements ein wesentliches Ergebnis.
Exemplarisch werden diese Ergebnisse für den Einheitskreis und den Poly- Zylinder studiert. Denn im Einheitskreis kann die Bergmansche Kernfunktion höherer Ordnung berechnet werden, da die Greensche Funktion höherer Ordnung bekannt ist. Entsprechend lassen sich die oben genannten Ergebnisse auf Poly- Zylinder übertragen.
The integral kernels occuring in the higher-order Cauchy-Pompeiu formula are expressed through suitable derivatives of a respective higher-order Green function. For a regular domain the resulting integral representations are used to derive explicit orthogonal decompositions of the classical Hilbert space of measurable, square integrable, complex-valued functions with respect to the kernel of an operator consisting of a combination of higher-order Cauchy- Riemann as well as anti-Cauchy-Riemann operators. The determination of the orthogonal complement is thereby an essential result.
Besides the determination of the general decompositions, special integral representations are given involving the higher-order Bergman kernel function, which is analougous to the first-order case a certain derivative of the higher-order Green function. These representations are used to decompose the above mentioned Hilbert space explicitly into a direct sum of the subspace of polyanalytic as well as polyantianalytic functions and its respective orthogonal complement.
Moreover a general higher-order integral representation formula for polydomains is given. With the help of this representation the above mentioned results are generalized to polydomains. For instance integral representations for polydomains involving higher-order Bergman kernels are available and explicit orthogonal decompositions of the corresponding Hilbert spaces into the subspaces of polyplurianalytic as well as polypluriantianalytic functions and their respective orthogonal complements are given. As in the one- dimensional case the determination of the orthogonal complement is thereby an essential result.
In order to be explicit and since the higher-order Green function (and therefore the higher-order Bergman kernel function) for the unit disc is known, the particular case of the unit disc as well as the unit polydisc is studied.
