Helmholtz Operator in Quaternionic Analysis

Abstract

As the Laplace operator also the more general Helmholtz operator is factorizable. In the four dimensional space within quaternionic analysis the important Helmholtz operator plays a fundamental role. The Helmholtz operator and its factorization in quaternionic analysis are basis of our work. The Stokes formulas are the fundamental tools in order to obtain our important results. In Chapter 1 we briefly recall some basic concepts of the algebraic structure properties of complex quaternionions. It also includes the basic results about the Stokes formulas and the Cauchy-Pompeiu integral representation formulas of the first order in the case of $alpha$ being a complex number. In Chapter 2, using the fundamental solution of the Helmholtz equation we construct the explicit forms of the fundamental solutions for powers of the factors of the Helmholtz operator. Using the Stokes formulas an integral representation of Cauchy-Pompeiu type for solutions to the inhomogeneous model equations $D_alpha f=g$ is obtained, where $D_alpha$ is a factor of the Helmholtz operator. These results lend assistance aid to investigate some properties of higher order Teodorescu operators. These properties play an essential role in the treating of boundary value problems which are studied in the next chapters. Chapter 3 gives some applications in solving the Dirichlet problem for the inhomogeneous Helmholtz equation and for those with powers of the Helmholtz operator by using the Cauchy-Pompeiu integral representations. Using the Stokes formulas, in Chapter 4 the orthogonal decomposition of complex quaternionions-valued Hilbert spaces with respect to left(right)$alpha$-hyperholomophic functions as well as poly- left(right) $alpha$-hyperholomophic functions and polymetaharmonic functions are provided. These results together with representations of solutions to the inhomogeneous higher order Helmholtz equation deal with a question about the representations of solutions of the inhomogeneous bimetaharmonic equation in a bounded regular domain. In Chapter 5, we use the same approach and ideas as in Chapter 2 and Chapter 4 to obtain similar results for a polynomial differential operator. This operator is composed as a product of powers of $D_alpha$�s with different $alpha$�s. The general Cauchy-Pompeiu integral representations of polynomial operator are given. They open the door for further investigating the boundary valued problems of classical Vekua type.

Wie der Laplace Operator ist auch der allgemeinere Helmholtz Operator faktorisierbar. Im vierdimensionalen Raum spielt der Helmholtz Operator im Rahmen der Quaternionenanalysis eine wichtige, fundamentale Rolle. Der Helmholtz Operator und seine Faktorisierung in der Quaternionenanalysis sind die Grundlage unserer Arbeit. In dieser Arbeit ist der quernionische Stokessche Integralsatz ein grundlegendes Hilfsmittel. In Kapitel 1 werden kurz einige grundlegende Konzepte der algebraischen und stukturellen Eigenschaften der komplexen Quaternionen zusammengestellt. Es enthält auch die wichtigen Ergebnisse über den quernionischen Stokesschen Integralsatz und die Cauchy-Pompeiusche Integraldarstellung erster Ordnung. In Kapitel 2 können wir mit Hilfe der Fundamentallösung der Helmholtz Gleichung die explizite Form der Fundamentallösung für Potenzen des Faktors des Helmholtz Operators konstruieren. Unter Verwendung des Stokesschen Integralsatzes wird eine Integraldarstellung vom Cauchy-Pompeiuschen Typ für Lösungen der inhomogenen Modellgleichung $D_{alpha}^nf=g$ erhalten. Hier bezeichnet $D_{alpha}$ einen Faktor des Helmholtz Operators $(Delta+alpha^2)$. Diese Ergebnisse geben Anlass, Eigenschaften des Teodorescu Operators höherer Ordnung zu untersuchen. Dieser Operator spielt in der Behandlung von Randwertproblemen eine wichtige Rolle, die in Kapitel 3 entwickelt werden. Mit Hilfe der Grundlösung der Helmholtz Gleichung wird hier das Dirichlet Problem für die inhomogene Helmholtz Gleichung und für solche Gleichungen mit Potenzen des Helmholtz Operators untersucht. Fragen von Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösungen werden beantwortet. In Kapitel 4 werden dieselben Ideen wie in Kapitel 2 benutzt, um Darstellungen von Lösungen zur inhomogenen Helmholtz Gleichung zu erhalten. Mit Hilfe des Stokesschen Integralsatzes werden orthogonale Zerlegungen des komplexen quaternionenwertigen Hilbert Raumes sowohl bezüglich links (rechts)$alpha$-hyperholomorpher Funktionen als auch bezüglich poly-links (rechts)$alpha$-hyperholomorpher und polymetaharmonischer Funktionen bereitgestellt. Auf dieser Grundlage wird das Dirichlet Problem für die inhomogene bimetaharmonische Gleichung behandelt. In Kapitel 5 werden derselbe Zugang und die selben Ideen benutzt wie in den Kapiteln 2 und 4, um ähnliche Ergebnisse für eine allgemeinere Gleichung zu erhalten, die durch einen polynomialen Differentialoperator gegeben ist. Dieser Operator besteht aus einem Produkt von Potenzen von $D_alpha$ Operatoren mit unterschiedlichen $alpha$ . Eine Cauchy-Pompeiusche Integraldarstellung wird für seine Lösungen gewonnen.