Charged Quantum Fields Associated with Endomorphisms of CAR and CCR Algebras

Abstract

The appearance of the Cuntz algebras Od is a generic feature of local quantum field theory. This fact has been discovered by S. Doplicher and J. E. Roberts within the algebraic theory of superselection sectors. Generators of the Cuntz algebras arise as charged field operators which implement localized endomorphisms of the observable algebra. Whereas the existence of such operators can be derived from first principles, little is known about the actual construction of these fields in concrete models.

In view of this apparent discrepancy, we develop a comprehensive theory of quasi-free endomorphisms of the CAR and CCR algebras which give rise to representations of the Cuntz algebras Od on Fock space. The number d is the statistics dimension of the endomorphism. It can be any power of 2 (including 1 and infinite) in the CAR case, but takes only the values 1 and infinite in the CCR case.

We obtain necessary and sufficient conditions for implementability of quasi- free endomorphisms. By studying extensions of partial Fock states, we find that the semigroup of implementable quasi-free endomorphisms has a simple structure: It can be written as a product of a group of automorphisms which are close to the identity, and the semigroup of endomorphisms which leave the given Fock state invariant.

We describe the construction of the implementers of a quasi-free endomorphism in terms of annihilation and creation operators in is a generic feature of local quantum field theory. This fact has been discovered by S. Doplicher and J. E. Roberts within the algebraic theory of superselection sectors. Generators of the Cuntz algebras arise as charged field operators which implement localized endomorphisms of the observable algebra. Whereas the existence of such operators can be derived from first principles, little is known about the actual construction of these fields in concrete models.

We compare the structure of the semigroup of (gauge invariant) quasi-free endomorphisms with the generic superselection structure of quantum field theory.

Wie S. Doplicher und J. E. Roberts gezeigt haben, treten die Cuntz-Algebren Od ganz allgemein in der lokalen Quantenfeldtheorie auf. Darstellungen der Cuntz- Algebren werden erzeugt von ladungstragenden Quantenfeldern, welche lokalisierte Endomorphismen der Observablenalgebra implementieren. Es sind aber bisher keine Beispiele für die Konstruktion solcher geladenen Felder in konkreten Modellen bekannt.

Angesichts dieser Situation entwickeln wir eine vollständige Theorie derjenigen quasifreien Endomorphismen der CAR- und CCR-Algebren, die zu Darstellungen der Cuntz-Algebren Od auf dem Fockraum führen. Dabei ist d die statistische Dimension des Endomorphismus. Wie sich zeigt, kann d im CAR-Fall eine beliebige Potenz von zwei sein, im CCR-Fall jedoch nur eins oder unendlich.

Wir beweisen ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Implementierbarkeit quasifreier Endomorphismen. Die Halbgruppe der implementierbaren Endomorphismen hat eine einfache Struktur: Jeder implementierbare Endomorphismus läßt sich zerlegen in ein Produkt eines Automorphismus, der ´nahe´ bei der Identität liegt, und eines Endomorphismus, der den gegebenen Fockzustand invariant läßt.

Wir finden explizite Formeln für die geladenen Felder, die einen gegebenen Endomorphismus implementieren. Aus diesen Formeln läßt sich ableiten, daß der von den Feldern aufgespannte d-dimensionale Hilbertraum selbst eine Fockraumstruktur trägt. Weiter lassen sich die Ladungsquantenzahlen der Endomorphismen bestimmen. Endomorphismen mit statistischer Dimension ungleich eins sind stets reduzibel.

Wir diskutieren Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen der Halbgruppe der (eichinvarianten) quasifreien Endomorphismen und der Halbgruppe der lokalisierten Endomorphismen in der Theorie der Superauswahlsektoren.