The aim of this thesis is to study discrete structures associated with group- based models. Group-based models are statistical models on phylogenetic trees that can be parametrized by polynomial maps. The algebraic varieties given by these polynomial maps are toric. By the well-known correspondence between toric varieties and polyhedral fans, we can associate discrete structures, such as lattice polytopes and affine semigroups, with group-based models. We follow three main lines in this dissertation. In Chapters 2 and 3, we study the Hilbert polynomials of group-based models. This is motivated by a result of Buczyńska and Wiśniewski stating that the Hilbert polynomial of the Jukes- Cantor binary model on a trivalent tree does not depend on the shape of the tree. In Chapter 2, we give a simple combinatorial proof to this statement, and in Chapter 3, we show that the analogous statement does not hold for the Kimura 3-parameter model. In Chapters 4 and 5, we study the phylogenetic semigroups on graphs that generalize the Jukes-Cantor binary model on trees. In Chapter 4, we study the maximal degrees of the minimal generators of these semigroups. In Chapter 5, we investigate the minimal generators of the phylogenetic semigroups on graphs with a few holes, extending the work of Buczyńska. Finally, in Chapter 6, we establish a connection between Berenstein-Zelevinsky triangles from representation theory and group-based models. This is motivated by the recent work of Sturmfels, Xu, and Manon related to conformal block algebras.
Phylogenetische algebraische Geometrie beschäftigt sich mit algebraischen Varietäten die mit phylogenetischen Modellen assoziiert sind. In dieser Dissertation werden Gitterpolytope und affine Halbgruppen untersucht, die mit torischen Varietäten von gruppenbasierten phylogenetischen Modellen korrespondieren. Laut einem Resultat von Buczyńska und Wiśniewski ist die Hilbertfunktion der algebraischen Varietät auf dem Jukes-Cantor binären Modell und einem trivalenten Baum unabhängig von der Topologie des Baumes. In Zusammenarbeit mit Haase und Paffenholz geben wir einen einfachen kombinatorischen Beweis für diesen Satz. Außerdem zeigen wir, dass die analoge Aussage für das Kimura Dreiparametermodell nicht stimmt. Buczyńska und Wiśniewski haben auch gezeigt, dass die mit dem Jukes-Cantor binären Modell assoziierte Halbgruppe im Grad eins erzeugt ist. Eine phylogenetische Halbgruppe auf einem Graph verallgemeinert das Jukes-Cantor binäre Modell auf einem Baum. Wir zeigen, dass es für jede natürliche Zahl g einen Graph gibt, sodass der maximale Grad vom minimalen Erzeugendensystem von der entsprechenden phylogenetischen Halbgruppe genau 2⌊g/2⌋+1 ist. Das ist Teil der Arbeit mit Buczyńska, Buczyński und Michałek, in der wir auch zeigen, dass g+1 die bestmögliche obere Schranke ist. Das minimale Erzeugendensystem der phylogenetischen Halbgruppe auf einem trivalenten Baum wurde von Buczyńska und Wiśniewski untersucht und der Fall von trivalenten Graphen mit erster Bettizahl eins wurde von Buczyńska betrachtet. Wir beschreiben das minimale Erzeugendensystem auf allen Graphen mit erster Bettizahl g<2 und auf allen trivalenten Graphen mit erster Bettizahl zwei. Außerdem beschreiben wir für beliebige trivalente Graphen die minimalen Erzeuger vom Grad d<3\. Basierend auf der Arbeit von Sturmfels und Xu hat Manon gezeigt, dass die phylogenetischen Halbgruppen torische Degenerationen von Algebren SL2(C)-konformer Blöcke sind. Darüber hinaus hat er ähnliche Verbindungen zwischen dem Rang zweier Berenstein-Zelevinsky-Dreiecke und Algebren SL3(C)-konformer Blöcke gezeigt. Motiviert von diesen Resultaten stellen wir eine Verbindung zwischen affinen Halbgruppen von gruppenbasierten Modellen und Halbgruppen von Berenstein-Zelevinsky-Dreiecken her.
