On a nonlocal viscous phase separation model

Abstract

Dynamical processes of phase separation and related spatial pattern formation are characteristic for many two component (binary) systems in which phase separation can be induced by rapid cooling (''quick quenching'') the system. Such processes are usually described by various types of Cahn-Hillard equations. In this work we are interested in nonlocal Cahn-Hillard equations. Nonlocal models describe the phenomena not only more adequate but also satisfy the physical requirements, which have to be established additionally. Nonlocal models contain equations of second order and afford to apply the maximum principle. This work is devoted to a nonlocal viscous Cahn-Hillard equation. To prove existence we start in Chapter 3 and 4 with a special regularization of the nonlinearity and a truncation of the nonlocal term. For the regularized equation we prove existence via a semidiscrete scheme together with Schauder's fixed-point method. To get the existence for the original problem we establish a priori estimates, which are uniform with respect to the regularization parameter. In Chapter 5 we prove a special regularity result by Moser iteration in the form of Alikakos. The regularity result ensures that the concentration of the system relies strictly between zero and one, provided this is true for the initial concentration. The key role in our proof plays a special choice of a testfunction, which allows us to analyze the behaviour of solutions on subsets of the domain of their definition. In chapter 6 we study the longtime behaviour by using the energy estimate. We are able to prove the convergence of the solution trajectory to an equilibrium point. But, accordingly to the fact that equilibrium points cannot expected to be unique, this convergence is shown only along subsequences. The issue of the convergence for the whole trajectory can be answered if one is able to prove the strict global boundedness of the solution. This would allow to apply the Lojasiewicz-Simon-Inequality.

Phasenseparationsphänomene treten unter anderem bei zweikomponentigen Gemischen auf, die einer Abkühlung ausgesetzt werden. Solche Prozesse werden durch die Cahn-Hillard-Gleichung verschiedenen Typs beschrieben. In dieser Arbeit liegt unser Augenmerk auf den nichtlokalen Cahn-Hillard-Gleichungen, zu denen auch unsere nichtlokale viskose Cahn-Hillard-Gleichung gehört. Die nichtlokalen Cahn-Hillard Modelle beschreiben nicht nur die Vorgänge präziser, sondern sie erfüllen auch auf natürliche Weise die physikalischen Forderungen, die bei lokalen Modellen zusätzlich aufgestellt werden müssen. Nichtlokale Modelle enthalten Gleichungen zweiter Ordnung auf deren Lösungen das Maximumprinzip anwendbar ist. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der mathematischen Untersuchung der nichtlokalen viskosen Cahn-Hillard-Gleichung. Wir beweisen in den beiden Kapiteln 3 und 4 die Existenz einer eindeutigen Lösung unserer Modellgleichung. Dabei gehen wir wie folgt vor: Nach geeigneten Regularisierungen (z.B. Regularisierung der Nichtlinearität) approximieren wir das nun regularisierte Problem durch ein semidiskretes Schema, welches wir durch Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes lösen. Mittels a-priori- Abschätzungen, die ihren Ausgangspunkt in den Energieabschätzungen nehmen, und Kompaktheitsaussagen erhalten wir dann eine Lösung des Originalproblems. Desweiteren gehen wir der Frage nach, ob die Konzentration strikt zwischen Null und Eins bleibt, falls diese Tatsache für die Anfangskonzentration gilt. Die Frage kann in Kapitel 5 lediglich für endliche Zeiten positiv beantwortet werden. Dabei verwenden wir geeignete Testfunktionen sowie die Moser- Iterationsverfahren in der Variante von Alikakos. Schließlich untersuchen wir in Kapitel 6 das Langzeitverhalten. Dabei spielt die Energieabschätzung wiederum eine wesentliche Rolle. Wir können beweisen, daß die Lösung entlang der Trajektorie gegen einen Gleichgewichtspunkt konvergiert. Aber diese Konvergenz kann nur für Teilfolgen gezeigt werden, da nicht zu erwarten ist, dass der Gleichgewichtspunkt eindeutig durch den Mittelwert des Anfangswertes bestimmt ist. Für die Zukunft interessant wäre die Untersuchung der Konvergenz nicht nur einer Teilfolge sondern entlang der gesamten Trajektorie. Dazu müßte man aber die strikte Beschränktheit der Konzentration nicht nur für endliche Zeiten sondern zeitlich global zeigen. Dies würde die Anwendung der Lojasiewicz-Simon-Ungleichung ermöglichen.