Applications of Doubly Quasi-Periodic Boundary Value Problems in Elasticity Theory

Abstract

In the present thesis, we investigate the first and the second fundamental complete plane strain (CPS) problems of the three-dimensional nonhomogeneous elastic body with a doubly-periodic set of cracks and the mixed CPS problems of the three-dimensional nonhomogeneous elastic body with a doubly-periodic set of holes. At first, we resolve the complete plane strain state into two linearly independent plane elastic systems by the superposition principle of forces. Then, on the basis of that when the stress distributions are doubly- periodic in the elastic body, then the displacements, the complex stress function the expression and the complex torsion function are all doubly quasi- periodic, we construct Kolosov functions, and establish boundary value problems by using the complex potential method, furthermore, based on a suitable modification of Cauchy-type integrals, which is defined by the replacement of the Cauchy kernel by the Weierstrass zeta function the general representations for the solutions are constructed, under some general restrictions the boundary value problems are reduced to the normal type singular integral equations with Weierstrass zeta kernel, and the existences of the essentially unique solution are proved. In addtion, we pose three formulations of the modified doubly-periodic second fundamental CPS problem with relative displacements. It is proved that, for the unique existence of solution, the external resultant principal vectors and moments must be given in advance. At last, the general solutions are obtained in closed form for several specific cases. For some illustrating examples of practical interest, the exact solutions are obtained. moreover when we fix one of its periods, while the other tends to infinity, we get the exact solutions of the singly- periodic case, furthermore, when we let the two periods both tend to infinity, we have immediately the solutions of non-periodic case, which are identical with the classical ones.

Betrachtet werden das erste und das zweite fundamentale vollständig ebene Spannungsproblem (CPS) für den dreidimensionalen inhomogenen elastischen Körper mit einer doppeltperiodischen Menge von Brüchen und gemischte CPS Probleme für dreidimensionale inhomogene elastische Körper mit einer doppeltperiodischen Menge von Löchern. Zuerst wird das vollständig ebene Spannungsproblem durch das Kräfteüberlagerungsprinzip in zwei linear unabhängige ebene elastische Systeme aufgelöst. Aufgrund der Tatsache, daß die Verschiebungen, die komplexe Druckfunktion phi(z), der Ausdruck z phi-quer´(z) + psi-quer (z) und die komplexe Torsion F (z) doppelt quasiperiodisch sind, wenn die Druckverteilung im elastischen Körper doppeltperiodisch ist, werden die Kolosov Funktionen konstruiert und Randwertprobleme mit Hilfe der komplexen Potentialmethode eingeführt. Darüberhinaus werden mit Hilfe eines geeignet modifizierten Cauchy-Typ Integrals, das durch Ersetzen des Cauchykerns 1/ (t-z) durch die Weierstraßsche Zetafunktion zeta (t-z) definiert wird, allgemeine Lösungsdarstellungen gegeben.

Unter allgemeinen Einschränkungen werden die Randwertprobleme auf singuläre Integralgleichungen von Normaltyp mit Weierstraßschem Zetakern reduziert und die Existenz der im wesentlichen eindeutigen Lösung gezeigt. Außerdem werden drei Formulierungen des modifizierten doppeltperiodischen zweiten fundamentalen CPS Problems mit relativen Verschiebungen gegeben. Es wird bewiesen, daß für die Existenz von eindeutigen Lösungen die äußeren resultierenden Hauptvektoren und die Momente von vornherein gegeben sein müssen. Schließlich werden die allgemeinen Lösungen für mehrere Spezialfälle in geschlossener Form erhalten. Für einige illustrierende Beispiele von praktischem Interesse werden die exakten Lösungen gegeben. Fixiert man dort eine der Perioden und läßt die anderen unendlich groß werden, erhält man die exakten Lösungen für den einfach periodischen Fall. Läßt man auch die zweite Periode unendlich werden, erhält man unmittelbar als Grenzfall die Lösungen im unperiodischen Fall.