One of the classical results of vector measure theory is A. A. Lyapunov´s which states that the range of every countably additive finite nonatomic vector measure valued in a finite dimensional space is a compact and convex set. This result, first obtained by A. A. Lyapunov in 1940 attracted the attention of many mathematicians. It is known that the Lyapunov theorem is false in the infinite-dimensional case. The aim of this thesis is to develop infinite-dimensional generalizations of the Lyapunov theorem.
A Banach space is said to have the Lyapunov property if the closure of the range of every countably additive finite nonatomic vector measure valued in this space is a convex set.
The present work consists of three chapters. General information on vector measures, different approaches to generalizations of the Lyapunov convexity theorem and the three-space problem for the Lyapunov property are presented in Chapter 1. In Chapter 2 the notions of a Lyapunov tree and Lyapunov B- and C-convexity are introduced. It is proved that Banach spaces having this property have the Lyapunov property. In Chapter 3 we find out which of the known Banach spaces have the Lyapunov property and which do not. Most of the constructed examples fit into the scheme: if a Banach space has no isomorphic copies of l2 then it has the Lyapunov property. However, we present an example of a Banach space that does not fit into this scheme. One of the classical results of vector measure theory is A. A. Lyapunov´s which states that the range of every countably additive finite nonatomic vector measure valued in a finite dimensional space is a compact and convex set. This result, first obtained by A. A. Lyapunov in 1940 attracted the attention of many mathematicians. It is known that the Lyapunov theorem is false in the infinite-dimensional case. The aim of this thesis is to develop infinite- dimensional generalizations of the Lyapunov theorem.
A Banach space is said to have the Lyapunov property if the closure of the range of every countably additive finite nonatomic vector measure valued in this space is a convex set.
The present work consists of three chapters. General information on vector measures, different approaches to generalizations of the Lyapunov convexity theorem and the three-space problem for the Lyapunov property are presented in Chapter 1. In Chapter 2 the notions of a Lyapunov tree and Lyapunov B- and C-convexity are introduced. It is proved that Banach spaces having this property have the Lyapunov property. In Chapter 3 we find out which of the known Banach spaces have the Lyapunov property and which do not. Most of the constructed examples fit into the scheme: if a Banach space has no isomorphic copies of l2 then it has the Lyapunov property. However, we present an example of a Banach space that does not fit into this scheme.
Der Konvexitätssatz von Lyapunov besagt, dass der Wertebereich eines in einen endlichdimensionalen Raum wirkenden nicht-atomaren Mass es eine konvexe und kompakte Menge ist. Das Theorem gilt nur für endlichdimensionale Räume. In dieser Arbeit werden unendlichdimensionale Versionen dieses Satzes untersucht.
Wir werden sagen, dass ein Banachraum die Lyapunoveigenschaft hat, falls der Abschluss des Wertebereichs jedes nicht-atomaren Masses mit werten in diesem Raum eine konvexe Menge ist.
Im ersten Kapitel wird allgemeinere Information über Vektormasse dargestellt und das Dreiraumproblem in bezug auf diese Eigenschaft betrachtet. Nämlich wird folgendes bewiesen: wenn ein Unterraum eines Banachraums und sein Faktorraum die Lyapunoveigenschaft haben, besitzt dieser Raum selbst die Eigenschaft.
Im zweiten Kapitel werden die Verallgemeinerungen der Begriffe des Typs und Cotyps, der B- und C-Konvexität bezüglich der Lyapunoveigenschaft eingeführt. Es wird untersucht, unter welchen Voraussetzungen "Lyapunov" B- und C-konvexe Räume die Lyapunoveigenschaft haben.
Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit einigen Beispielen von klassischen Banachräumen, die die Lyapunoveigenschaft haben oder nicht haben. Es wird bewiesen, dass die Orlicz-, Lorentz-, Baernsteinfolgenräume, die asymptotischen lp-Räume, die keine isomorphe Kopie von l2 besitzen, der Schreierraum, der Tsirelsonraum, der Schlumprechtraum, der Gowers-Maurey-Raum sowie der Gowersraum die Lyapunoveigenschaft haben, und dass der Tokarevraum die Lyapunoveigenschaft nicht hat. Der Konvexitätssatz von Lyapunov besagt, dass der Wertebereich eines in einen endlichdimensionalen Raum wirkenden nicht-atomaren Mass es eine konvexe und kompakte Menge ist. Das Theorem gilt nur für endlichdimensionale Räume. In dieser Arbeit werden unendlichdimensionale Versionen dieses Satzes untersucht.
Wir werden sagen, dass ein Banachraum die Lyapunoveigenschaft hat, falls der Abschluss des Wertebereichs jedes nicht-atomaren Masses mit werten in diesem Raum eine konvexe Menge ist.
Im ersten Kapitel wird allgemeinere Information über Vektormasse dargestellt und das Dreiraumproblem in bezug auf diese Eigenschaft betrachtet. Nämlich wird folgendes bewiesen: wenn ein Unterraum eines Banachraums und sein Faktorraum die Lyapunoveigenschaft haben, besitzt dieser Raum selbst die Eigenschaft.
Im zweiten Kapitel werden die Verallgemeinerungen der Begriffe des Typs und Cotyps, der B- und C-Konvexität bezüglich der Lyapunoveigenschaft eingeführt. Es wird untersucht, unter welchen Voraussetzungen "Lyapunov" B- und C-konvexe Räume die Lyapunoveigenschaft haben.
Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit einigen Beispielen von klassischen Banachräumen, die die Lyapunoveigenschaft haben oder nicht haben. Es wird bewiesen, dass die Orlicz-, Lorentz-, Baernsteinfolgenräume, die asymptotischen lp-Räume, die keine isomorphe Kopie von l2 besitzen, der Schreierraum, der Tsirelsonraum, der Schlumprechtraum, der Gowers-Maurey-Raum sowie der Gowersraum die Lyapunoveigenschaft haben, und dass der Tokarevraum die Lyapunoveigenschaft nicht hat.