Quasiregular mappings and Hölder continuity of differential forms on Riemannian manifolds

Abstract

With the help of the theory of differential forms this dissertation presents some well-known and also new results about quasiregular mappings on Riemannian manifolds. We consider some recently introduced classes of differential forms, the WT-classes, and show that elements of these classes are solutions of a quasilinear elliptic equation. Some differential forms composed of the components of a quasiregular mapping can be used as an example for these classes. In the second part we give a new definition for the Hölder continuity of differential forms on Riemannian manifolds and show that one of our classes fulfills this requirement.

In dieser Dissertation wird der Versuch unternommen, gewisse bekannte und teilweise auch neue Resultate über quasireguläre Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Theorie der Differentialformen, insbesondere mit einigen erst vor Kurzem eingeführten Klassen von Differentialformen, mit den WT-Klassen, zu erzielen. Quasireguläre, beziehungsweise quasikonforme Abbildungen in höherdimensionalen Räumen sind seit Ende der 50er Jahre Gegenstand intensiver Forschung. Die Theorie der n-dimensionalen quasiregulären Abbildungen ist für ngt 2 weitgehend nichtlinear, sie hat Verbindungen zu bestimmten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen wie auch zur nichtlinearen Potentialtheorie. Die WT-Klassen von Differentialformen auf Riemannschen Mannigfaltig-keiten werden definiert. Differentialformen, lokal aus den Komponenten einer quasiregulären Abbildungen zusammengesetzt, fungieren als die wichtigsten Beispiele für die WT-Klassen. Es kann gezeigt werden, dass diese speziellen Beispiele einer quasilinearen elliptischen Gleichung genügen. In dieser Arbeit wird auf zwei unterschiedliche Beweisführungen hingewiesen. Der Kernpunkt dieser Arbeit ist die neue Definition der Hölder-Stetigkeit von Differentialformen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Hölder-Stetigkeit von Funktionen. Es wird gezeigt, dass ein grosser Teil der Differentialformen aus den WT-Klassen Hölder-stetig sind. Der Beweis beruht auf Morrey´s Lemma für Differentialformen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und der Absch ätzung des Energieintegrals von Differentialformen aus den WT-Klassen.