Dynamik räumlich-zeitlicher Muster in heterogenen Medien

Abstract

In dieser Arbeit werden Spiralwellen in zweidimensionalen erregbaren Medien untersucht. Als mathematisches Modell dient die Kinematische Theorie, die Spiralwellen in schwach erregbaren Medien als Kurven mit einem freien Ende, der so genannten Spitze, modelliert. Dabei wird die Wellenausbreitung durch eine Normalengeschwindigkeit entlang der Kurve und eine Tangentialgeschwindigkeit in der Spitze beschrieben. Es ergibt sich für die Krümmung eine partielle Differentialgleichung. Singuläre Störungsmethoden deuten auf eine affin-lineare Abhängigkeit der Normalengeschwindigkeit von der Krümmung hin. Starr rotierende Spiralwellenlösungen dieser Gleichung, d.h. die Krümmung ist unabhängig von der Zeit, existieren und sind asymptotisch Archimedische Spiralwellen. Die Eikonalheorie vereinfacht weiter zu einer krümmungsunabhängigen Normalengeschwindigkeit. Zeitlich variierende externe Anregungen werden dabei durch zeitabhängige Ausbreitungsgeschwindigkeiten und Dirichlet-Randbedingungen modelliert. Im Eikonalfall kann die Krümmungsgleichung als eine nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichung formuliert werden kann, die mittels Charakteristiken gelöst werden kann. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass die Erhaltungsgleichung Spiralwellenlösungen besitzt. Die Lösungen müssen aber nicht asymptotisch Archimedisch sein. Vielmehr darf der Wellenfrontabstand variieren, bleibt aber beschränkt, wenn die externe Anregung beschränkt ist. Es wird gezeigt, dass die Spiralspitze Drift-, Mäander- und noch komplexere Dynamiken durchführen kann. Diese Dynamiken spiegeln sich auch in überlagerten Mustern in der gesamten Spiralwelle wider: Analytisch werden Superspiralstrukturen in dem nichtlinearen Modell nachgewiesen. Eingegangen wird auch auf die Kontrolle der Dynamik der Spiralspitze. Abgeschlossen wird mit einem Vergleich der kinematischen und eikonalen Theorie für starr rotierende Spiralwellen.

This dissertation deals with spiral waves in two-dimensional excitable media. The kinematic theory serves as the mathematical model to study spiral waves in weakly excitable media. An excitation front is modelled as a curve with a free end, the so called tip. Wave propagation is described by normal velocity along the curve and tangential velocity at the tip. A partial differential equation for the curvature can be derived. Singular perturbations methods indicate an affine linear dependence of the normal velocity on the curvature. Rigidly rotating spiral waves, i.e. the curvature is independent of time, exist and are asymptotically Archimedean. The eikonal theory further simplifies to a curvature independent normal velocity. Time varying external forcing is modelled by time dependent propagation velocities and Dirichlet boundary conditions. In the eikonal case the curvature equation can be phrased as a nonlinear hyperbolic balance law, which can be solved using the method of characteristics. This works shows that the balance law exhibits spiral wave solutions. These solutions are not necessarily asymptotically Archimedean. In fact, the wave front distance may vary, but stays bounded, when the external forcing is bounded. It is proved that the spiral tip can perform drift, meander and more complicated dynamics. These dynamics can be seen via a Doppler effect in the entire spiral wave structure: Superspiral Structures are found analytically in this nonlinear setting. The control of spiral wave dynamics is also addressed. This dissertation concludes with a comparison of the kinematic and the eikonal theory for rigidly rotating spiral waves.