On sigma-Filtered Boolean Algebras

Abstract

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Abstract

We study kappa-filtered and tightly kappa-filtered Boolean algebras for infinite regular cardinals kappa. Tight kappa-filteredness is a generalization of projectivity. kappa-filteredness is equivalent to the socalled kappa- Freese-Nation property (kappa-FN). In the case kappa=aleph_1 these properties are called sigma-filteredness, respectively tight sigma-filteredness. The aleph_1-FN is also called weak Freese-Nation property (WFN).

In chapter 1 the basic notions are introduced. Chapter 2 is devoted to tightly kappa-filtered Boolean algebras. We show that there are 2^lambda isomorphism types of tightly sigma-filtered Boolean algebras of size lambda for every infinite cardinal lambda. We give charcterizations of tightly kappa-filtered Boolean algebras. Some results on Stone spaces of projective Boolean algebras are generalized. For every infinite regular cardinal kappa we construct an aleph_0-filtered Boolean algebra, which is not tightly kappa-filtered. We show that P(omega) is not tightly sigma-filtered in the Cohen model for 2^aleph_0=aleph_3. Note that P(omega) is sigma-filtered in that model. We show that no complete Boolean algebra with more than (2^aleph_0)^+ elements is tightly sigma-filtered.

In chapter 3 we discuss the WFN. We show that P(omega) fails to have the WFN in many models of set theory obtained by iterated forcing. We then study the cardinal invariants of the continuum under the assumption that P(omega) has the WFN. It turns out that the invariants under consideration have the same values as in a Cohen model with the same size of the continuum. Finally we show that the WFN of P(omega) implies the WFN of many more complete c.c.c. Boolean algebras.

Die Arbeit befasst sich mit kappa-filtrierten sowie mit eng kappa-filtrierten Booleschen Algebren, wobei kappa eine unendliche reguläre Kardinalzahl ist. Enge kappa-Filtriertheit verallgemeinert Projektivität. kappa-Filtriertheit ist äquivalent zur sogenannten kappa-Freese-Nation-Eigenschaft (kappa-FN). Im Fall kappa=aleph_1 spricht man von sigma-Filtriertheit bzw. enger sigma- Filtriertheit. Die aleph_1-FN wird auch als schwache Freese-Nation-Eigenschaft (WFN) bezeichnet.

Nach Einführung der grundlegenden Begriffe im ersten Kapitel, werden im zweiten Kapitel eng kappa-filtrierte Boolesche Algebren untersucht. Zunächst wird gezeigt, dass es für jede unendliche Kardinalzahl lambda 2^lambda Isomorphietypen eng sigma-filtrierter Boolescher Algebren der Mächtigkeit lambda gibt. Anschließend werden verschiedene Charakterisierungen eng kappa- filtrierter Boolescher Algebren gegeben und gewisse Resultate über Stone-Räume projektiver Algebren verallgemeinert. F&uumlr; jedes unendliche reguläre kappa wird eine aleph_0-filtrierte Boolesche Algebra konstruiert, die nicht eng kappa-filtriert ist. Es wird gezeigt, dass P(omega) im Cohen-Modell für 2^aleph_0=aleph_3 zwar sigma-filtriert, aber nicht eng sigma-filtriert ist und dass keine vollständige Boolesche Algebra mit mehr als (2^aleph_0)^+ Elementen eng sigma-filtriert ist.

Im dritten Kapitel wird die WFN diskutiert. Es wird gezeigt, dass P(omega) in sehr vielen Modellen, die durch iteriertes Forcing gewonnen wurden, nicht die WFN hat. Anschließend werden Kardinalzahlinvarianten des Kontinuums unter der Annahme, dass P(omega) die WFN hat, studiert. Es stellt sich heraus, dass alle untersuchten Invarianten die gleichen Werte haben, wie in einem Cohen-Modell mit derselben Größe des Kontinuums. Schließlich wird gezeigt, dass die WFN von P(omega) die WFN vieler weiterer vollständiger c.c.c. Boolescher Algebren impliziert.