Monotone Multigrid Methods for Signorini's Problem with Friction

Abstract

In this work, we consider the numerical simulation of contact problems. Since the numerical realization of contact problems is of high importance in many application areas, there is a strong demand for fast and reliable simulation method. We introduce and analyze a new nonlinear multigrid method for solving contact problems with and without friction. As it turns out, by means of our new method nonlinear contact problems can be solved with a computational amount comparable that of linear problems. In particular, in our numerical experiments we observe our method to be of optimal complexity. Moreover, since we do not use any regularization techniques, the computed discrete boundary stresses as well as the computed displacements turn out to be highly accurate. The new method is based on the succesive minimization of the associated energy functional in direction of properly choosen functions. We show the global convergence of our method and give several numerical examples in two and three space dimensions, illustrating the robustness and the performance of the method. In addition to the theoretical analysis, the method has been implemented in an object oriented way. We explain the concepts of our implementation and show the flexibility of our approach by deriving a nonlinear algebraic multigrid method. To include frictional effects, we use a discrete fixed point iteration. As a faster alternative, also a Gauss-Seidel like iteration scheme is proposed. Both methods are compared in numerical examples. The resulting nonlinear algorithm turns out to be fast and reliable. Finally, we consider the case of contact between elastic bodies. Here, the information transfer at the interface is realized by means of non conforming domain decomposition methods (mortar methods). This gives rise to a non-linear Dirichlet Neumann Algorithm.

Die vorliegende Arbeit hat die numerische Simulation von Kontaktproblemen zum Thema. Die effiziente und zuverlaessige Simulation von Kontaktproblemen ist in vielen Anwendungsbereichen von grosser Bedeutung. In der vorliegenden Arbeit wird ein neues, nichtlineares Mehrgitterverfahren fuer die numerische Loesung von Kontaktproblemen mit und ohne Reibung vorgestellt und analysiert. Dieses neuen Verfahren ermoeglicht es, nichtlineare Kontaktprobleme mit rechnerischem Aufwand vergleichbar dem fuer lineare Probleme zu loesen. Insbesondere hat sich das Verfahren in zahlreichen numerische Experimenten als von optimaler Komplexitaet erwiesen. Darueberhinaus sind die berechneten Verschiebungen und Randspannungen aesserst genau, weil keinerlei Regularisierung verwendet wird. Das neue Verfahren basiert auf der sukzessiven Minimierung des assoziierten Energiefunktionals in Richtung geeignet gewaehlter Basisfunktionen. Die globale Konvergenz des Verfahrens wird bewiesen. Zahlreiche numerische Beispiele in zwei und drei Raumdimensionen illustrieren die Robustheit und die Effizienz der Methode. Zusaetzlich zur theoretischen Analysis ist die Methode implementiert worden. Die Konzepte der objetorientierten Implementierung werden beschrieben und erlautert. Zur Illustration wird ein nichtlineares algebraisches Mehrgitterverfahren hergeleitet. Zur Behandlung der Reibungseffekte wird eine diskrete Fixpunktiteration verwendet. Darueberhinaus wird auch eine Gauss-Seidel arteige Variante dieser Fixpunktiteration vorgestellt, die keinerlei aessere Iteration mehr benoetigt. Beide Varianten werden in numerischen Beispielen vergleichen. Der resultierende nichtlineare Algorithmus erweist sich dabei als ebenso robust wie effizient. Im Letzten Kapitel wird der reibungsbehaftete Kontakt zweier elasticher Koerper behandelt. Dabei basiert der Informationstransfer am Interface auf nichtkonformen Gebietszerlegungsmethoden (Mortar Techniken). Das fuehrt auf einen nichtlinearen Dirichlet-Neumann Algorithmus.