Simulation der Quantenchromodynamik mit Overlap-Fermionen

Abstract

In dieser Arbeit wurde die Quantenchromodynamik auf dem Gitter mit Overlap- Fermionen in der Valenzquarknäherung simuliert. Wir haben das Spektrum der leichten Hadronen, spektrale Eigenschaften des Diracoperators sowie hadronische Matrixelemente untersucht.

Die Abhängigkeit der Massen der leichten Hadronen von der Quarkmasse stimmt mit den Vorhersagen der chiralen Störungstheorie überein. Insbesondere sind die Artefakte der Valenzquarknäherung bei kleinen Quarkmassen klar erkennbar. Die von uns bestimmten Werte der Hadronenmassen weisen Abweichungen von den experimentellen Werten auf, die in der Größenordnung von zehn Prozent liegen. Dies interpretieren wir als Effekt der Valenzquarknäherung.

Die spektralen Eigenschaften des Diracoperators werden weitgehend durch die chirale Symmetrie festgelegt. Um diese Eigenschaften auf dem Gitter zu untersuchen, ist es daher unerläßlich, mit einer Gitterdiskretisierung zu arbeiten, die die chirale Symmetrie respektiert, so daß zwischen der Topologie des Eichfeldes und den Nullmoden des Diracoperators derselbe Zusammenhang besteht wie im Kontinuum -- das Atiyah-Singer-Indextheorem. Wir haben diesen Zusammenhang dazu genutzt, die topologische Suszeptibilität, die in die Witten-Veneziano-Formel für die Masse des Eta'-Teilchens eingeht, zu bestimmen. Die spektrale Dichte des Diracoperators, die wir bestimmt haben, folgt der von der chiralen Störungstheorie vorhergesagten Form; daraus konnten wir die Parameter Sigma und delta der effektiven Lagrangedichte ermitteln. Die Verteilung der kleinsten Eigenwerte des Diracoperators stimmt mit der Vorhersage der Zufallsmatrixtheorie überein.

Der von uns berechnete Wert für die axiale Ladung des Nukleons weicht um etwa zehn Prozent vom experimentell bestimmten Wert 1.26 ab. Die Größenordnung dieser Abweichung ist typisch für die Valenzquarknäherung.

Das Matrixelement v2b, das in die Operatorproduktentwicklung des ersten Momentes der unpolarisierten Nukleon-Strukturfunktion eingeht, zeigt eine deutlich größere Abweichung vom experimentellen Wert.

Der Fehler, der durch die Valenzquarknäherung gemacht wird, ist prinzipiell unkontrollierbar. Daher ist es erforderlich, Rechnungen mit dynamischen Fermionen durchzuführen. Mittlerweile wurden von verschiedenen Gruppen Algorithmen entwickelt, die es erlauben, solche Rechnungen durchzuführen.

In this work we simulate quantum chromodynamics on the lattice with overlap fermions in the quenched approximation. We investigated the light hadron spectrum, spectral properties of the Dirac operator and hadronic matrix elements.

The quark mass dependence of light hadron masses agrees with the predictions of chiral perturbation theory. In particular, the quenching artefacts are clearly visible at small quark masses. The hadron masses which we determined deviate from the experimental hadron masses by about ten percent, which we interpret as quenching effects.

The spectral properties of the Dirac operator are determined to a large extent by chiral symmetry. In order to investigate these properties on the lattice, it is therefore mandatory to employ a discretisation which respects chiral symmetry, so that on the lattice there is the same relation between gauge field topology and Dirac operator zero modes as in the continuum: The Atiyah- Singer index theorem. We used this relation for the determination of the topological susceptibility, which enters the Witten-Veneziano formula for the eta' particle. The spectral density of the Dirac operator which we measured follows the form predicted by chiral perturbation theory. From this, we were able to determine the parameters Sigma and delta of the effective lagrangean. The distribution of the smallest Dirac operator eigenvalues agrees with predictions from random matrix theory.

Our measured value for the axial charge of the nucleon deviates from the experimental value 1.26 by about ten percent. The magnitude of this deviation is typical for the quenched approximation.

The matrix element v2b which enters the operator product expansion of the first moment of the unpolarised nucleon structure function shows a significantly larger discrepancy to the physical value.

The error introduced by quenching is uncontrollable. Therefore it is required to perform simulation with dynamical fermions. Meanwhile, various groups have been developping algorithms which make such simulations possible.