> Abstract
The behavior of systems consisting of fluid membranes is investigated.Firstly, the issue of the renormalizability of the Canham-Helfrich theory,which describes fluid membranes in terms of their surface and curvatureenergy, is studied. With help of a derivative expansion the one-loopcorrections due to thermal fluctuations to the Canham-Helfrich energyfunctional of a nearly flat, stiff membrane with tension are calculated in theMonge parametrization. Contrary to previous studies, an arbitrary tilt of thesurface is allowed to exhibit the nontrivial relations between the different,highly nonlinear terms accompanying the ultraviolet divergences. These termsare shown to have precisely the same form as those in the original energyfunctional, as necessary for renormalizability.
Secondly, the Canham-Helfrich model is extended to account for quantumfluctuations. The analysis of the extended model is carried outboth in first-order perturbative theory, as well asnon-perturbatively, in the limit of large dimensionality of theembedding space. In contrast to thermal fluctuations, which softenthe membrane at large scales and turn it into a crumpled surface,quantum fluctuations are found to stiffen the membrane. Thelarge-scale behavior of the membrane is studied at finite temperature,where a crumpling transition is found. The phase diagram of thequantum membrane is calculated exactly in the limit of largedimensionality of the embedding space.
Thirdly, a stack of tensionless membranes with nonlinear curvatureenergy and vertical harmonic interaction is studied. At lowtemperatures, the system forms a lamellar phase. At a criticaltemperature, the stack disorders vertically in a melting-liketransition. The critical temperature for the transition is determinedperturbatively in a one-loop calculation as a function of the bendingrigidity. The critical exponents for the compressibility and specificheat of the stack are also calculated. In a non- perturbativecalculation in a large number of dimensions of the embedding space,the full phase diagram of the stack is determined as a function oftemperature and interlayer separation.
> Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird das Verhalten von aus flüssigen Membranen bestehendenSystemen untersucht.
Zunächst wird die Frage der Renormierbarkeit derCanham-Helfrich-Theorie studiert, welche flüssige Membranen durchihre Oberflächen- und Krümmungsenergie beschreibt. Mit Hilfeder Gradientenentwicklung werden die durch thermische Fluktuationenverursachten Ein-Schleifen-Korrekturterme des Canham-HelfrichschenEnergie-Funktionals für eine beinahe flache, steife Membran mitOberflächenspannung in der Monge-Parametrisierung berechnet. Andersals bei früheren Arbeiten ist eine beliebige Neigung derOberfläche gestattet, um die nicht-trivialen Beziehungen zwischen denunterschiedlichen, stark nicht-linearen Termen, welche dieultravioletten Divergenzen begleiten, zu zeigen. Es wird gezeigt,da diese Terme genau die gleiche Form haben wie jene in demursprünglichen Energie-Funktional, was für die Renormierbarkeitnötig ist.
Dann wird das Canham-Helfrich-Modell erweitert, um auchQuantenfluktuationen zu berücksichtigen. Die Analyse des erweitertenModells erfolgt sowohl mit der Störungstheorie erster Ordnung alsauch nicht-störungstheoretisch im Grenzfall großerDimensionalität des Einbettungsraumes. Im Gegensatz zu thermischenFluktuationen, welche Membranen aufweichen und ihnen eine zerknitterte(crumpled) Gestalt geben, versteifen Quantenfluktuationen dieMembranen. Das Verhalten der Membranen wird bei endlichen Temperaturenbetrachtet, wo man auf einen Zerknitterungs- Phasenübergang(crumpling transition) stößt. Die Phasendiagramme derQuantenmembrane werden im Grenzfall großer Dimensionalität desEinbettungsraumes exakt berechnet.
Schließlich wird ein Stapel von spannungslosen Membranen mitnichtlinearer Krümmungsenergie und vertikalen harmonischenWechselwirkungen untersucht. Bei niedrigen Temperaturen formt dasSystem eine lamellare Phase. Bei einer kritischen Temperatur geht dasSystem in eine vertikal ungeordnete Phase über. Die kritischeTemperatur wird störungstheoretisch in einerEin-Schleifen- Rechnung als Funktion der Krümmungssteifigkeitbestimmt. Die kritischen Exponenten für dieKompressibilität und spezifische Wärme des Stapels werdenebenfalls berechnet. In einer nicht-störungstheoretischenBerechnung, für große Dimensionalität desEinbettungsraumes, wird das gesamte Phasendiagramm des Stapels alsFunktion von Temperatur und Abstand der einzelnen Schichten ermittelt.
