Boundary Value Problems of Complex Variables

Abstract

Until now there has been still a great deal of activity in the study of integral representations for holomorphic functions of one and several complex variables in terms of their boundary values. These problems are of interest both because of their theoretical importance and the implications for applications, such as quantum field theory. In contrast with the one variable case, studies on holomorphic functions of several complex variables encounter mainly two kinds of difficulties: the geometrical complexity of general higher dimensional domains and the analytic complexity of complex integrability conditions from overdetermination. Many new tools are developed and many new insights are achieved. The aim of the PhD project is finding integral representations for elliptic equations and overdetermined elliptic systems as well as well-posed formulation of the classical problems in higher dimensional space regarding the torus.

Integraldarstellungen für holomorphe Funktionen einer und mehrerer komplexen Veränderlichen mit Hilfe ihrer Randwerte stehen seit vielen Jahren im Mittelpunkt von Untersuchungen. Sie sind wegen ihrer theoretischen Bedeutung und für Anwendungen wie etwa die Quantenfeldtheorie von Interesse. Im Gegensatz zur Theorie einer Veränderlichen entstehen bei holomorphen Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen im Wesentlichen zwei Schwierigkeiten: die geometrische Komplexität allgemeiner Gebiete in höheren Dimensionen und die analytische Komplexität von komplexen Integrabilitätsbedingungen durch Überbestimmtheit. Viele neue Hilfsmittel werden entwickelt und viele neue Einsichten gewonnen. Ziel dieser Dissertation ist sowohl das Auffinden neuer Integraldarstellungen für elliptische Gleichungen und überbestimmte elliptische Systeme als auch die Formulierung wohlgestellter klassischer Probleme für Polyzylinder (Tori) in höherdimensionalen Räumen.