On the evolution of hypersurfaces in asymptotically flat Riemannian manifolds by their inverse null mean curvature

Abstract

We consider Riemannian manifolds which arise naturally as asymptotically flat initial data sets in general relativity. We introduce a new evolution equation for hypersurfaces in such manifolds where the speed is given by the reciprocal of the null mean curvature. This PDE unites the theory of marginally trapped surfaces (MOTS) in Lorentzian spacetimes with the study of inverse mean curvature flow in asymptotically flat Riemannian manifolds. A theory of weak solutions to this new flow is developed using level-set methods and an appropriate variational principle. The key ingredient is the use of elliptic regularisation, which amounts to solving an elliptic PDE which can be interpreted as Jang's equation with a gradient regularisation term. The assumption of an appropriate sign on the mean curvature on the initial data set prevents solutions of Jang's equation from blowing up to negative infinity over marginally inner trapped surfaces (MITS) in the initial data set. For similar reasons, it is necessary to restrict to initial data sets with non- negative mean curvature in this work. We then prove existence of a weak solution of the flow under this curvature assumption. This new flow has a natural application as a variational-type approach to constructing MOTS, and and this work also gives new insights into the theory of weak solutions of inverse mean curvature flow.

Wir untersuchen Riemannsche Mannigfaltigkeiten, welche in natürlicher Weise als asymptotisch flache Anfangsdaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten. Dazu führen wir eine neue Evolutionsgleichung für Hyperflächen solcher Mannigfaltigkeiten ein. Hierbei ist die Geschwindigkeit als die reziproke mittlere Krümmung in Richtung des Lichtkegels gegeben. Diese partielle Differentialgleichung verbindet die Theorie der MOTS (engl. ``marginally outer trapped surfaces'') in Lorentzschen Raumzeiten mit dem Studium des inversen mittleren Krümmungsflusses in asymptotisch flachen Riemannschen Mannigfaltikeiten. Mit Hilfe der Niveaumengenmethode und einer geeigneten Variationsformulierung entwickeln wir eine Theorie schwacher Lösungen für diesen Fluss. Der Kernpunkt dabei ist die Benutzung der sog. elliptischen Regularisierung, welche das Problem auf das Lösen einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zurückführt. Diese kann als die Jangsche Gleichung mit einem Gradienten-Regularisierungsterm verstanden werden. Wie schon von Metzger bemerkt, verhindert die Annahme eines Vorzeichens an die mittlere Krümmung, dass Lösungen der Jangschen Gleichung am Rand der MITS (engl. ``marginally inner trapped surfaces'') der Anfangsdaten nach minus Unendlich divergieren. Aus ähnlichen Gründen ist es notwendig sich in diesem Kontext auf Anfangsdaten mit nicht-negativer mittlerer Krümmung zu beschränken. Unter diesen Annahmen beweisen wie die Existenz von schwachen Lösungen. Wir skizzieren eine Anwendung dieses Flusses auf die Exisitenztheorie für MOTS, und zeigen zudem, dass wenn eine schwache Lösung als Limes von Lösungen der regularisierten Gleichung gewonnen wird, das Innere des Sprungregion durch glatte MOTS geblättert wird.