Tensors provide a powerful and at the same time concise mathematical formalism to encode intricate physical phenomena. They describe multi-linear functions independently of a frame of reference and capture anisotropic properties which vary as function of direction. However, the wealth of information contained in tensor data can be a mixed blessing as in return this can heavily aggravate their interpretation. This thesis is concerned with analysis and visualization methods to support the interpretation of second order tensors per se and fields of such tensors. The focus is on tensor fields from engineering and mechanics. We present visualization concepts for indefinite symmetric tensors as well as asymmetric tensors which both bring about their individual properties and requirements. The aim is to truthfully reflect the specific properties in the tensor fields and at the same time to support an immediate understanding by the user. The presented methods are developed for two dimensional second order tensor fields defined on planar or curved surfaces. These tensor fields naturally occur e.g. on boundary surfaces but also if the data is analyzed on cuts extracted from three dimensional data. This facilitates to inspect the intrinsic properties on these geometries in full detail. One primary constituent of this work is to find expressive structures in order to present the tensor data in a condensed and simplified manner. The results are given as explicit geometries which can be used for further processing such as tracking over time or statistical inquiry. For symmetric second order tensor fields we extract the topology which captures all essential structural features in a strongly reduced graph structure. This graph structure is used as a basis to develop enriched visualization methods. In this vein, a complete segmentation is presented that partitions the field into regions of homogeneous eigenvector and eigenvalue behavior. This segmentation serves as well defined framework for rich visualizations – texture mapping for a continuous and dense depiction and a glyph placement strategy for detailed inspection on demand. Finally, a sketch-like visualization of vector fields and their spatial derivatives, asymmetric tensor fields, is presented. The initial asymmetric tensor data is uniquely decomposed and automatically filtered based on scalar field topology and homological persistence. The extracted prevalent features are depicted in an illustrative, easy to read visualization which facilitates a comprehensive overview of the field characteristics. All contributions in this thesis are topological methods or build on such which guarantees that the results depict the data in a simplified but uncorrupted and consistent manner.
Tensoren bieten ein mächtiges und präzises Konzept zur Formulierung komplexer physikalischer Phänomene. Sie beschreiben multi-lineare Funktionen und erfassen anisotrope Eigenschaften. Diese Mächtigkeit kann jedoch einen gravierenden Nachteil bedeuten - die Interpretation von Tensordaten wird dadurch signifikant erschwert. Diese Arbeit präsentiert Analyse- und Visualisierungsmethoden, die das Verständnis von Tensoren zweiter Ordnung unterstützen. Hierbei liegt der Fokus auf Tensordaten aus den Anwendungsfeldern Physik, Mechanik und Ingenieurswissenschaften, die Visualisierungskonzepte für indefinite symmetrische so wie für asymmetrische Tensoren erfordern. Ziel ist es, die jeweiligen Eigenschaften wahrheitsgetreu wider zu spiegeln und gleichzeitig dem Benutzer ein intuitives Erfassen zu ermöglichen. Die hier vorgestellten Methoden wurden für zwei dimensionale Tensorfelder entwickelt, die auf planaren oder gekrümmten Flächen definiert sind. Dieses beinhaltet physikalische Randflächen, aber erlaubt auch die Analyse dreidimensionaler Datensätze, die zum Beispiel bezüglich ihrer intrinsischen Eigenschaften auf extrahierten Isoflächen untersucht werden. Elementarer Bestandteil dieser Arbeit ist die Extraktion expressiver Strukturen, um Tensordaten in einer kompakten und vereinfachten Art darzustellen. Die Ergebnisse werden als explizite Geometrien definiert, die eine weiterführende Analyse begünstigen, wie die Untersuchung zeitabhängiger Felder oder eine statistische Analyse. Für symmetrische Tensoren zweiter Ordnung präsentieren wir ein Modell zur Berechnung der Topologie. Diese beinhaltet alle essentiellen strukturellen Merkmale in einer stark reduzierten Graphstruktur und dient als Basis für erweiterte Visualisierungsmethoden. Darauf aufbauend wird eine Segmentierung vorgestellt, die das Tensorfeld in Regionen gleichen Eigenvektor- und Eigenwertverhaltens partitioniert. Diese wohldefinierte Struktur erlaubt Visualisierungsmethoden hoher Informationsdichte: Texturmapping als kontinuierliche Darstellung des gesamten Feldes und Glyphenplatzierung für eine detaillierte Untersuchung an ausgezeichneten Stellen. Für asymmetrische Tensoren präsentieren wir eine Visualisierungmethode, die in ihrem Grad an vereinfachter Darstellung Handzeichnungen aus Lehrbüchern ähnlich ist. Die Tensoren werden hierbei in ihre Komponenten zerlegt und automatisch durch eine Kombination von Skalarfeldtopologie und homologischer Persistenz gefiltert. Alle hier vorgestellten Beiträge sind topologische Methoden oder basieren auf solchen. Dies garantiert eine Ergebnis-visualisierungen der Originaldaten in vereinfachter, jedoch in unverfälschter und konsistenter Art.
