Zusammenfassung Das kompositorische Schaffen in der europäischen (und nicht nur in der europäischen) Musikgeschichte beruht auf den Prinzipien von Symmetrie und Variation bzw. gebrochener Symmetrie. Sie werden auf verschiedene Art und Weise und auf unterschiedlichen Ebenen realisiert: In mikro- und makroformalen Bereichen (in der rhythmischen, melodischen [polyphonen] und harmonischen [homophonen] Struktur), in der musikalischen Zeit und im (imaginären und realen) Raum, im Zeit-Raum einer Komposition und in den musikgeschichtlichen Zeit-Räumen. Es gibt viele Formen von (diskreter) Symmetrie, die in der Musik verwirklicht werden. Die bedeutendsten sind translative, bilaterale und fraktale Symetrie. Charakteristisches Verfahren ist: Modell + Symmetrieoperation(en) = symmetrische Ganzheit. Die Art und Weise der Verwirklichung der Symmetrie hängt nicht nur von den Komponisten ab, die sie bewusst und unbewusst erreichen können, sondern auch von gewissen Voraussetzungen oder Beschränkungen, die durch unterschiedliche kompositorische Systeme und stilistisch – ästhetische Prinzipien im Bereich der Tonalität, der erweiterten Tonalität und der freien oder organisierten Atonalität entstehen. Durch die Prinzipien von Symmetrie und Variation ist die Musik mit der ganzen spirituellen und materiellen Welt verbunden. Das Prinzip der isomorphischen Korrespondenz der Struktur in unterschiedlichen Medien verbindet Natur, Kunst und Wissenschaft. Harmonikale Zahlenproportionen der Platonischen Konsonanzen kreiren den Rhythmus zwischen verschiedenen Teilen einer musikalischen, architektonischen oder poetischen Komposition. Translative Symmetrie, die als Archetyp des formalen Denkens in der europäischen Musiktradition bezeichnet werden kann, ist in der Kunst der Ornamentik sowie in der Welt der Kristalle erkennbar. Bilaterale Symmetrie (Spiegelsymmetrie, Parität), die in der Musik als „Zeitumkehr“ und Spiegelung im Tonhöhen- bzw. Frequenzbereich realisiert wird, erscheint in der Physik sowohl im abstrakten als auch im realen Raum. Fraktale werden auch in materieller und geistiger Welt, in der Zeit und im Raum verwirklicht. Mathematisch – geometrische und musikalische Logik sind nicht unbedingt kompatibel oder vergleichbar. Es gibt keine direkte Verbindung zwischen Ästhetik, künstlerischer Leistung und dem Automatismus der Methode. Symmetrie und (mathematisch – geometrische) Schönheit einer kompositorischen Struktur oder Formkonstruktion garantieren nicht, dass es sich um eine schöne, wertvolle oder „richtige“ Musik handelt, obwohl eine solche Übereinstimmung nicht ausgeschlossen ist. Die Schöpfung eines Genies, wie zum Beispiel Bachs, Mozarts oder Beethovens, beruht auf der Synthese von vielen Komponenten, die für eine große Kunst relevant sind. Symmetrie ist nur eine von diesen Komponenten. Erwünschte psychologisch – ästhetische Wirkung gebrochener Symmetrie ist erst durch die zugrunde liegende Idee der Symmetrie ermöglicht. Kreative Spannung zwischen Symmetrie, gebrochener Symmetrie und Asymmetrie kennzeichnet zahlreiche bedeutende künstlerische Leistungen der europäischen Musikgeschichte. Ihre innewohnenden mathematisch – geometrische Schichten, lokale und globale symmetrische Verhältnisse wurden durch einen allumfassenden Schöpfungsakt erreicht.
Summary: Symmetry is a universal principle in nature, sciences and arts. Generally speaking symmetry means that something looks the same when observed from certain different aspects. Symmetry is almost always broken – more or less, directly (in praxis) or spontaneously (in quantum field theory). There are discrete and continuous symmetries. Various forms of discrete symmetries – like bilateral, translative or rotative – associated with the field of arts, can also be recognized in our natural enviroment – in molecules, crystals, flowers etc... . More important than symmetries of things are the deeply hidden symmetries of the fundamental laws of nature that govern physical phenomena throughout the universe. Theoretical physicists of our time are searching for a final unifying theory, a „theory of everything“. The best candidate seems to be the theory of superstrings, in which the principles of relativity and quantum mechanics can coexist. It rests on a large set of symmetries. Music is the art essentially associated with the dimension of time. Its formal structure may be defined as a specific articulation of time. The most important, fundamental compositional principle, a kind of archetype of formal idea in music, is repetition and variation (or varied repetition). Repetition requires contrast and – vice versa – contrast demands repetition. Articulation of musical form can hardly be imagined without some sort of identity. Symmetry is a specific aspect of repetition. There are various ways of its realization in musical structure and form, as well as presuppositions of its application, concerning different compositional systems and styles. Here are a few basic ways in which symmetry is realized: 1) Translative symmetry (time-, pitch-, and space-translation); 2) Bilateral symmetry or „mirror reflection“ in the realm of time, pitches (frequences) and space. The so-called „time inversion“ or „time reversal“ means actually the oposite direction of a sequence of musical events. 3) Fractal or scaling symmetry („self-similarity“). Fractal structures in music appear basically at two levels: at the abstract level of the „pure“ form or formal patterns and at the concrete level of a specific musical content. The same abstract fractal models or patterns can be recognized through the history of music in various musical works based on completely different motifs, themes or, generally speaking, musical ideas. Musical fractal models involve usually other forms of symmetry, like translative and bilateral symmetry. Fractals in music are, above all, time-filling fractals. In the realm of arts symmetry is actually always broken. There are two main reasons for that. Firstly, ideal mathematical or geometrical symmetry can not be achieved in artistic praxis – including ornamental art and music. It exists only as an idea in the mind of an artist. The second and most important reason is aesthetic implications. Artistic achievement or aesthetic attraction may be diminished or even annuled with too much or too obvious symmetry. Small and strong violations of symmetry in music rest on the fact that mathematical and musical logic are not necessarily compatible. Symmetry, broken symmetry or asymmetry by themselves do not guarantee anything. Creation by a genius – such as Mozart, Bach or Beethoven – rests on a synthesis of many components relevant to a great art. The principle of symmetry is only one of them.
