In this dissertation, we focus on the description of equivariant line bundles on complexity-one T-varieties and two applications thereof. Using the language of polyhedral divisors and divisorial fans developed by Klaus Altmann, Jürgen Hausen and Hendrik Süß, we describe equivariant line bundles in terms of so- called Cartier support functions on the underlying divisorial fan S. Furthermore, we give a precise description of their global sections and provide a vanishing result for cohomology groups of nef line bundles on certain complete rational complexity-one T-varieties. These results are then applied in two different ways. First, given a Mori dream space TV(S) with free divisor class group we construct a polyhedral divisor on the projective line which corresponds to the Cox ring of TV(S). This polyhedral divisor not only allows for a detailed study of torus orbits and deformations but, in special cases, also for a downgrade to another polyhedral divisor previously constructed with different means by Klaus Altmann and Jarek Wisniewski in the same setting. The second application lies within the realm of Okounkov bodies. We present a construction of two types of invariant flags and use these to compute Okounkov bodies of rational projective complexity-one T-varieties. In particular, we show that these are rational polytopes. Moreover, using results of Dave Anderson and Nathan Ilten, we exhibit explicit links to degenerations and T-deformations. Finally, we prove that the global Okounkov body of a rational projective complexity-one T-variety with respect to these two types of flags is rational polyhedral. This generalizes an analogous result previously obtained by Jose Gonzalez for projectivized rank two toric vector bundles over smooth projective toric varieties.
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Beschreibung äquivarianter Geradenbündel auf T-Varietäten der Komplexität eins sowie auf zwei Anwendungen, die sich aus jener Beschreibung ergeben. Grundlegend für diese Dissertation ist dabei die Sprache der polyedrischen Divisoren und divisoriellen Fächer, die von Klaus Altmann, Jürgen Hausen und Hendrik Süß entwickelt wurde und in Analogie zur Korrespondenz zwischen torischen Varietäten und polyedrischen Fächern eine solche für T-Varietäten und divisorielle Fächer liefert. Die für die vorliegende Schrift wesentlichen Aspekte dieser Theorie werden im ersten Kapitel präsentiert. Um die Notation im folgenden zu erleichtern, sei eine T-Varietät der Komplexität eins zum divisoriellen Fächer S mit TV(S) bezeichnet. Im zweiten Kapitel werden äquivariante Geradenbündel auf TV(S) mit sogenannten Trägerfunktionen in Verbindung gebracht, wobei letztere stetige, affin lineare Funktionen darstellen, die auf den polyedrischen Unterteilungen definiert sind. Hierbei wird gezeigt, dass die Gruppe der Cartier-Trägerfunktionen auf S isomorph zur Gruppe der T-invarianten Cartier-Divisoren auf TV(S) ist. Für ein gegebenes äquivariantes Geradenbündel ermöglicht die sich daraus ergebende teils kombinatorische, teils geometrische Beschreibung eine explizite Berechnung des zugehörigen graduierten Moduls der globalen Schnitte. Ferner wird ein Kohomologie-Verschwindungssatz für numerisch effektive Divisoren auf toroidalen T-Varietäten der Komplexität eins bewiesen. Im anschließenden dritten Kapitel werden obige Erkenntnisse zur Theorie der äquivarianten Geradenbündel benutzt, um in einer ersten Anwendung eine Beschreibung des Cox- Rings kompletter rationaler T-Varietäten TV(S) mit freier Divisorenklassengruppe durch einen polyedrischen Divisor zu geben. Motiviert durch ein entsprechendes Resultat aus der torischen Geometrie wird gezeigt, dass sich letzterer insofern auf natürliche Weise konstruieren lässt, als er die affin linearen Abhängigkeiten zwischen den Ecken der polyedrischen Unterteilungen auflöst. Abschließend wird auf einen interessanten Zusammenhang mit einer bereits bekannten, aber wesentlich verschiedenen Konstruktion von Klaus Altmann und Jarek Wisniewski hingewiesen. Als zweite Anwendung wird im vierten und letzten Kapitel die Berechnung von Okounkov-Körpern rationaler, projektiver T-Varietäten der Komplexität eins zum Gegenstand der Betrachtungen. Dazu werden zwei Typen von T-invarianten Flaggen konstruiert -- allgemeine sowie torische. Es wird gezeigt, dass die jeweils resultierenden Okounkov-Körper rational polyedrisch sind. Im weiteren Verlauf werden spezielle torische Degenerationen, wie sie von Dave Anderson beschrieben wurden, mit Okounkov-Körpern in Verbindung gebracht und anhand diverser Beispiele diskutiert. Umgekehrt hat Nathan Ilten Zerlegungen von divisoriellen Polytopen mit T-Deformationen in Beziehung gesetzt, was hier an einzelnen Beispielen in vollkommener Analogie auch für Zerlegungen von Okounkov-Körpern getan wird. Schlussendlich wird gezeigt, dass auch der globale Okounkov-Körper einer rationalen, projektiven T-Varietät der Komplexität eins bzgl. beider Flaggentypen rational polyedrisch ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Jose Gonzalez, der obige Eigenschaften für globale Okounkov-Körper projektivierter torischer Vektorbündel vom Rang 2 nachgewiesen hat.
