dc.contributor.author
Petersen, Lars
dc.date.accessioned
2018-06-07T22:47:33Z
dc.date.available
2011-03-16T11:48:41.325Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/9650
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-13848
dc.description.abstract
In this dissertation, we focus on the description of equivariant line bundles
on complexity-one T-varieties and two applications thereof. Using the language
of polyhedral divisors and divisorial fans developed by Klaus Altmann, Jürgen
Hausen and Hendrik Süß, we describe equivariant line bundles in terms of so-
called Cartier support functions on the underlying divisorial fan S.
Furthermore, we give a precise description of their global sections and
provide a vanishing result for cohomology groups of nef line bundles on
certain complete rational complexity-one T-varieties. These results are then
applied in two different ways. First, given a Mori dream space TV(S) with free
divisor class group we construct a polyhedral divisor on the projective line
which corresponds to the Cox ring of TV(S). This polyhedral divisor not only
allows for a detailed study of torus orbits and deformations but, in special
cases, also for a downgrade to another polyhedral divisor previously
constructed with different means by Klaus Altmann and Jarek Wisniewski in the
same setting. The second application lies within the realm of Okounkov bodies.
We present a construction of two types of invariant flags and use these to
compute Okounkov bodies of rational projective complexity-one T-varieties. In
particular, we show that these are rational polytopes. Moreover, using results
of Dave Anderson and Nathan Ilten, we exhibit explicit links to degenerations
and T-deformations. Finally, we prove that the global Okounkov body of a
rational projective complexity-one T-variety with respect to these two types
of flags is rational polyhedral. This generalizes an analogous result
previously obtained by Jose Gonzalez for projectivized rank two toric vector
bundles over smooth projective toric varieties.
de
dc.description.abstract
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Beschreibung äquivarianter
Geradenbündel auf T-Varietäten der Komplexität eins sowie auf zwei
Anwendungen, die sich aus jener Beschreibung ergeben. Grundlegend für diese
Dissertation ist dabei die Sprache der polyedrischen Divisoren und
divisoriellen Fächer, die von Klaus Altmann, Jürgen Hausen und Hendrik Süß
entwickelt wurde und in Analogie zur Korrespondenz zwischen torischen
Varietäten und polyedrischen Fächern eine solche für T-Varietäten und
divisorielle Fächer liefert. Die für die vorliegende Schrift wesentlichen
Aspekte dieser Theorie werden im ersten Kapitel präsentiert. Um die Notation
im folgenden zu erleichtern, sei eine T-Varietät der Komplexität eins zum
divisoriellen Fächer S mit TV(S) bezeichnet. Im zweiten Kapitel werden
äquivariante Geradenbündel auf TV(S) mit sogenannten Trägerfunktionen in
Verbindung gebracht, wobei letztere stetige, affin lineare Funktionen
darstellen, die auf den polyedrischen Unterteilungen definiert sind. Hierbei
wird gezeigt, dass die Gruppe der Cartier-Trägerfunktionen auf S isomorph zur
Gruppe der T-invarianten Cartier-Divisoren auf TV(S) ist. Für ein gegebenes
äquivariantes Geradenbündel ermöglicht die sich daraus ergebende teils
kombinatorische, teils geometrische Beschreibung eine explizite Berechnung des
zugehörigen graduierten Moduls der globalen Schnitte. Ferner wird ein
Kohomologie-Verschwindungssatz für numerisch effektive Divisoren auf
toroidalen T-Varietäten der Komplexität eins bewiesen. Im anschließenden
dritten Kapitel werden obige Erkenntnisse zur Theorie der äquivarianten
Geradenbündel benutzt, um in einer ersten Anwendung eine Beschreibung des Cox-
Rings kompletter rationaler T-Varietäten TV(S) mit freier
Divisorenklassengruppe durch einen polyedrischen Divisor zu geben. Motiviert
durch ein entsprechendes Resultat aus der torischen Geometrie wird gezeigt,
dass sich letzterer insofern auf natürliche Weise konstruieren lässt, als er
die affin linearen Abhängigkeiten zwischen den Ecken der polyedrischen
Unterteilungen auflöst. Abschließend wird auf einen interessanten Zusammenhang
mit einer bereits bekannten, aber wesentlich verschiedenen Konstruktion von
Klaus Altmann und Jarek Wisniewski hingewiesen. Als zweite Anwendung wird im
vierten und letzten Kapitel die Berechnung von Okounkov-Körpern rationaler,
projektiver T-Varietäten der Komplexität eins zum Gegenstand der
Betrachtungen. Dazu werden zwei Typen von T-invarianten Flaggen konstruiert --
allgemeine sowie torische. Es wird gezeigt, dass die jeweils resultierenden
Okounkov-Körper rational polyedrisch sind. Im weiteren Verlauf werden
spezielle torische Degenerationen, wie sie von Dave Anderson beschrieben
wurden, mit Okounkov-Körpern in Verbindung gebracht und anhand diverser
Beispiele diskutiert. Umgekehrt hat Nathan Ilten Zerlegungen von divisoriellen
Polytopen mit T-Deformationen in Beziehung gesetzt, was hier an einzelnen
Beispielen in vollkommener Analogie auch für Zerlegungen von Okounkov-Körpern
getan wird. Schlussendlich wird gezeigt, dass auch der globale Okounkov-Körper
einer rationalen, projektiven T-Varietät der Komplexität eins bzgl. beider
Flaggentypen rational polyedrisch ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von
Jose Gonzalez, der obige Eigenschaften für globale Okounkov-Körper
projektivierter torischer Vektorbündel vom Rang 2 nachgewiesen hat.
en
dc.format.extent
VI, 78 S.
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
algebraic geometry
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik
dc.title
Line bundles on complexity-one T-varieties and beyond
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Klaus Altmann
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Jürgen Hausen
dc.date.accepted
2011-03-11
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000021854-6
dc.title.translated
Geradenbündel, Cox-Ringe und Okounkov-Körper für T-Varietäten der Komplexität
eins
en
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000021854
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000009232
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access