Regularity and error estimators for elliptic problems with discontinuous coefficients

Abstract

We regard linear elliptic equations with a discontinuous diffusion coefficient k in two and three space dimensions. The coefficient k is constant on polygonal (polyhedral) subdomains. These problems are also known as Laplace interface problems. It is known that solutions of these problems have lower regularity due to singularities.

In the second chapter we derive Sobolev H (s)-regularity, where s belongs to (1,2) which hold independently of the shape of the subdomains. We use a known criterion on the structure of coefficients \- the quasi-monotonicity condition - to give regularity results in Sobolev spaces H (1+1/4) independent of the jump size of the coefficients. We argue that the quasi-monotonicity is also a necessary condition for higher regularity independent of the jump size of k. Further we give sharp regularity results which depend on the jump size. We show that a checkerboard like distribution of values for the coefficient k leads to the worst possible regularity. For the regularity results in 3D we use the derived 2D results.

In the third chapter of this thesis we discretize the problem with linear finite elements. We propose treatment of the arising singularities by a posteriori mesh refinement on the basis of new a posteriori error estimators. If the quasi-monotonicity condition is fulfilled, we show that the a posteriori error estimators bound the discretization error from above with constants which do not depend on the jump size of the coefficient. For a lower bound of the error the quasi-monotonicity condition is not needed.

In various numerical examples (chapter 4) we confirm the applicability of the derived error estimators to problems with singularities. The examples comprise model problems, problems with real data from groundwater flow and 3D examples. The examples show that mesh refinement lead to error reduction rates in terms of unknowns N to the power of (-1/space dimension), which are expected to be optimal. The ratio of the error estimator and the true error takes on problem independent moderate values.

Wir untersuchen lineare elliptische Gleichungen mit unstetigen Diffusionskoeffizienten k in zwei und drei Raumdimensionen. Der Koeffizient k ist auf polygonalen (polyhedralen) Teilgebieten konstant und durch globale Schranken von oben und unten beschränkt. Diese Probleme werden auch Laplace Interface Probleme genannt. Es ist bekannt, dass die Lösungen dieser Probleme durch auftretende Singularitäten eine geringere Regularität besitzen.

Im zweiten Kapitel untersuchen wir die H (s) Regularität, wobei s aus (1,2) ist. Unter Nutzung einer bekannten Bedingung an die Struktur des Koeffizienten - der Quasimonotoniebedingung - geben wir Regularitätresultate in Sobolevräumen H (1+1/4) an, die unabhängig von globalen Schranken des Koeffizienten gelten. Wir zeigen das die Quasimonotoniebedingung auch notwendig für Aussagen über höhere Regularität unabhängig von den globalen Schranken von k sind. Des weiteren werden scharfe Regularitätsresultate gezeigt, die von den Schranken für den Diffusionskoeffizient abhängen. Hier zeigen wir das eine schachbrettartige Verteilung von Werten für k zu der geringsten möglichen Regularität führt. Die Regularitätsaussagen in 3D werden auf der Grundlage der 2D Resultate hergeleitet.

Im dritten Kapitel dieser Arbeit wird das Problem mit Finiten Elementen diskretisiert. Es wird vorgeschlagen, die auftretenden Singularitäten durch Gitterverfeinerung auf Grundlage von a posteriori Fehlerschätzer zu behandeln. Wenn der Diffusionskoeffizient die Quasimonotoniebedingung erfüllt, zeigen wir, dass die Fehlerschätzer den Diskretisierungsfehler von oben unabhängig von den Schranken des Koeffizienten abschätzen. Für die untere Schranke wird die Quasimonotoniebedingung nicht gebraucht.

Verschiedene numerische Beispiele bestätigen die Anwendbarkeit der hergeleiteten Fehlerschätzer auf Probleme mit Singularitäten. Diese Beispiele schliessen Modellprobleme sowie Probleme mit realen Daten aus der Grundwasserströmungssimulation als auch 3D-Beispiele ein. Sie zeigen, dass die Gitterverfeinerung zu einer Reduktion des Fehlers gemessen in den Freiheitsgeraden von N hoch (-1/Raumdimension) führt. Das Quotient von Fehlerschätzer und Fehler nimmt problemunabhängige, gemässigte Werte an.