My aim in this thesis is to reveal the true nature of mathematical reasoning and to show the necessity of pictorial representations in mathematics. In order to support my thesis I argue that using only the formal language, without fully integrating visual reasoning in mathematical communication, mathematics operates insufficiently and it can never reach its full potential. First of all, I provide a short historical approach to philosophy of mathematics as well as a summary of current state of visualization in mathematics. Then, I bring forth a complete picture of philosophy of mathematics and mathematical objects, which consistently allows visual reasoning, intuitions and constructions in mathematical communication. This interpretation makes it easy to see the pictorial representations as a natural part of mathematical reasoning. Moreover, I lay out the medium for visual reasoning in mathematics: Space. After providing several definitions of space I conclude that Kant’s characterization is the finest one as a base for mathematical reasoning, in particular for visual reasoning. Furthermore, I bring out the method of visual reasoning: Synthetic a priori. In order to show the link between visualization and synthetic a priori I provide hitherto definitions of visualization and argue that these lead up to Kantian characterization of constructions and synthetic a priori. Then, I provide several interpretations to show that Kant’s characterization of mathematics has elements valuable for modern mathematics that modern logic cannot capture. Finally, I offer three main arguments leading to the main thesis “pictorial repre- sentations/ diagrams are necessary parts of mathematical reasoning”: (1) There are formal systems with diagrams. Hence, not all uses of diagrams are synthetic. (2) There are necessary non-formal uses of diagrams in mathematical proofs. (3) There is a strong link between visualization and Kantian philosophy of mathematics. As a result, I claim that the real capacity of mathematics is not in turning it into a machine language but integrating and appreciating the aesthetic part of it as well. I also indicate the necessity of having a theory of diagrammatics, which should be set up as a branch of mathematics.
Das Ziel dieser Dissertation ist es, die wahre Natur mathematischen Denkens offenzulegen und die Notwendigkeit bildlicher Repräsentationen in der Mathematik aufzuzeigen. Zur Begründung meiner These werde ich wie folgt argumentieren: Sofern sie allein formale Sprachen verwendet und es unterlässt, visuelles Denken vollständig in die mathematische Kommunikation zu integrieren, operiert Mathematik ungenügend und kann ihr volles Potential nicht entfalten. Ich beginne mit einen kurzen Abriss zur Geschichte der Mathematikphilosophie, sowie einem Überblick zum gegenwärtigen Status von Visualisierungen in der Mathematik. Dann zeichne ich ein Gesamtbild der Philosophie der Mathematik und der mathematischen Objekte, die durchweg visuelles Denken, Anschauungen und Konstruktionen als zur mathematischen Kommunikation gehörend ansieht. Diese Interpretation macht auf einfache Weise einsichtig, inwiefern bildliche Repräsentationen einen natürlichen Teil mathematischen Denkens darstellen. Des Weiteren lege ich das Medium visuellen Denkens in der Mathematik dar: den Raum. Nach der Darstellung verschiedener Definitionen des Raums folgere ich, dass die Kantische Auffassung sich am besten als eine Grundlage mathematischen Denkens eignet, insbesondere visuellen Denkens. Im Weiteren erörtere ich die Methode visuellen Denkens: das synthetische Apriori. Um die Verbindung zwischen Visualisierung und synthetischem Apriori aufzuzeigen, gebe ich Definitionen von Visualisierung und argumentiere dafür, dass diese zu Kants Charakteristik von Konstruktion und synthetischem Apriori hinführen. Dann gebe ich mehrere Interpretationen, die zeigen, dass Kants Mathematik auffassung Elemente enthält, die sich für die moderne Mathematik als wertvoll erweisen und zugleich von moderner Logik nicht erfasst werden können. Schließlich führe ich drei zentrale Argumente an, die die Ausgangsthese dieser Dissertation stützen, die lautet: ”bildliche Repräsentationen bzw. Diagramme bilden einen notwendigen Teil mathematischen Denkens“. (1) Es gibt formale Systeme auf diagrammatischer Basis. Daher sind nicht alle Verwendungen von Diagrammen synthetisch. (2) Es gibt notwendige nicht-formale Verwendungen von Diagrammen in mathematischen Beweisen. (3) Es gibt einen starken Zusammenhang zwischen Visualisierung und der kantischen Mathematikphilosophie. Als Resultat behaupte ich, dass die wirkliche Kapazität der Mathematik nicht ausgeschöpft ist, wenn sie in eine Maschinensprache überführt wird, sondern nur dann, wenn ihr ästhetischer Anteil ebenso einbezogen und gewürdigt wird. Ich weise ebenfalls auf die Notwendigkeit einer Theorie der Diagrammatik hin, die als ein Zweig der Mathematik etabliert werden sollte.
