dc.contributor.author
Ekin, Özge
dc.date.accessioned
2018-06-07T18:23:35Z
dc.date.available
2016-04-14T11:06:29.515Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/4990
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-9189
dc.description.abstract
My aim in this thesis is to reveal the true nature of mathematical reasoning
and to show the necessity of pictorial representations in mathematics. In
order to support my thesis I argue that using only the formal language,
without fully integrating visual reasoning in mathematical communication,
mathematics operates insufficiently and it can never reach its full potential.
First of all, I provide a short historical approach to philosophy of
mathematics as well as a summary of current state of visualization in
mathematics. Then, I bring forth a complete picture of philosophy of
mathematics and mathematical objects, which consistently allows visual
reasoning, intuitions and constructions in mathematical communication. This
interpretation makes it easy to see the pictorial representations as a natural
part of mathematical reasoning. Moreover, I lay out the medium for visual
reasoning in mathematics: Space. After providing several definitions of space
I conclude that Kant’s characterization is the finest one as a base for
mathematical reasoning, in particular for visual reasoning. Furthermore, I
bring out the method of visual reasoning: Synthetic a priori. In order to show
the link between visualization and synthetic a priori I provide hitherto
definitions of visualization and argue that these lead up to Kantian
characterization of constructions and synthetic a priori. Then, I provide
several interpretations to show that Kant’s characterization of mathematics
has elements valuable for modern mathematics that modern logic cannot capture.
Finally, I offer three main arguments leading to the main thesis “pictorial
repre- sentations/ diagrams are necessary parts of mathematical reasoning”:
(1) There are formal systems with diagrams. Hence, not all uses of diagrams
are synthetic. (2) There are necessary non-formal uses of diagrams in
mathematical proofs. (3) There is a strong link between visualization and
Kantian philosophy of mathematics. As a result, I claim that the real capacity
of mathematics is not in turning it into a machine language but integrating
and appreciating the aesthetic part of it as well. I also indicate the
necessity of having a theory of diagrammatics, which should be set up as a
branch of mathematics.
de
dc.description.abstract
Das Ziel dieser Dissertation ist es, die wahre Natur mathematischen Denkens
offenzulegen und die Notwendigkeit bildlicher Repräsentationen in der
Mathematik aufzuzeigen. Zur Begründung meiner These werde ich wie folgt
argumentieren: Sofern sie allein formale Sprachen verwendet und es unterlässt,
visuelles Denken vollständig in die mathematische Kommunikation zu
integrieren, operiert Mathematik ungenügend und kann ihr volles Potential
nicht entfalten. Ich beginne mit einen kurzen Abriss zur Geschichte der
Mathematikphilosophie, sowie einem Überblick zum gegenwärtigen Status von
Visualisierungen in der Mathematik. Dann zeichne ich ein Gesamtbild der
Philosophie der Mathematik und der mathematischen Objekte, die durchweg
visuelles Denken, Anschauungen und Konstruktionen als zur mathematischen
Kommunikation gehörend ansieht. Diese Interpretation macht auf einfache Weise
einsichtig, inwiefern bildliche Repräsentationen einen natürlichen Teil
mathematischen Denkens darstellen. Des Weiteren lege ich das Medium visuellen
Denkens in der Mathematik dar: den Raum. Nach der Darstellung verschiedener
Definitionen des Raums folgere ich, dass die Kantische Auffassung sich am
besten als eine Grundlage mathematischen Denkens eignet, insbesondere
visuellen Denkens. Im Weiteren erörtere ich die Methode visuellen Denkens: das
synthetische Apriori. Um die Verbindung zwischen Visualisierung und
synthetischem Apriori aufzuzeigen, gebe ich Definitionen von Visualisierung
und argumentiere dafür, dass diese zu Kants Charakteristik von Konstruktion
und synthetischem Apriori hinführen. Dann gebe ich mehrere Interpretationen,
die zeigen, dass Kants Mathematik auffassung Elemente enthält, die sich für
die moderne Mathematik als wertvoll erweisen und zugleich von moderner Logik
nicht erfasst werden können. Schließlich führe ich drei zentrale Argumente an,
die die Ausgangsthese dieser Dissertation stützen, die lautet: ”bildliche
Repräsentationen bzw. Diagramme bilden einen notwendigen Teil mathematischen
Denkens“. (1) Es gibt formale Systeme auf diagrammatischer Basis. Daher sind
nicht alle Verwendungen von Diagrammen synthetisch. (2) Es gibt notwendige
nicht-formale Verwendungen von Diagrammen in mathematischen Beweisen. (3) Es
gibt einen starken Zusammenhang zwischen Visualisierung und der kantischen
Mathematikphilosophie. Als Resultat behaupte ich, dass die wirkliche Kapazität
der Mathematik nicht ausgeschöpft ist, wenn sie in eine Maschinensprache
überführt wird, sondern nur dann, wenn ihr ästhetischer Anteil ebenso
einbezogen und gewürdigt wird. Ich weise ebenfalls auf die Notwendigkeit einer
Theorie der Diagrammatik hin, die als ein Zweig der Mathematik etabliert
werden sollte.
de
dc.format.extent
IV, 205 Seiten
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
pictorial representations
dc.subject
philosophy of mathematics
dc.subject.ddc
100 Philosophie und Psychologie::100 Philosophie
dc.title
New Approaches to Visual Reasoning in Mathematics and Kantian Characterization
of Mathematics
dc.contributor.contact
ozge.ekin@gmail.com
dc.contributor.firstReferee
Sybille Krämer
dc.contributor.furtherReferee
Konrad Polthier
dc.date.accepted
2015-12-14
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000101747-6
dc.title.translated
Neue Ansätze zum visuellen Denken in der Mathematik und zur Kantischen
Mathematikauffassung
de
refubium.affiliation
Philosophie und Geisteswissenschaften
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000101747
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000018993
dcterms.accessRights.dnb
free
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open access