The Daugavet Property and Translation-Invariant Subspaces

Abstract

A Banach space X has the Daugavet property if every continuous and linear rank-one operator T on X satisfies the Daugavet equation ||Id + T|| = 1 + ||T||. A closed subspace Y of X is called rich if every subspace of X containing Y has the Daugavet property and it is called poor if the quotient space X/Z has the Daugavet property for every closed subspace Z of Y. If G is an infinite compact abelian group equipped with its Haar measure, then C(G) and L1(G) have the Daugavet property. Since G is a group, we can translate every function that is defined on G and have a special class of subspaces of C(G) or L1(G), the translation-invariant ones. For every such space X there exists a subset Lambda of the dual group of G such that X consists exactly of those elements of C(G) or L1(G) whose spectrum is contained in Lambda. We denote subspaces of this form by C_Lambda(G) and L1_Lambda(G). It is studied which translation-invariant subspaces have the Daugavet property, are rich or poor, and which quotients with respect to translation-invariant subspaces have the Daugavet property. We extend a result of D. Werner and show that C_Lambda(G) is a rich subspace of C(G) if and only if the complement of Lambda is a semi-Riesz set. It is furthermore proved that the complement of Lambda is a semi-Riesz set if L1_Lambda(G) is a rich subspace of L1(G). Consequently, C_Lambda(G) is a rich subspace of L1(G) if L1(G) is a rich subspace of L1(G). Concerning quotients of C(G) and L1(G), we show an interesting connection between rich subspaces of C(G) and quotients of L1(G) and vice versa. Applying results form G. Godefroy, N. J. Kalton, and D. Li, we can deduce that L1_Lambda(G) is a poor subspace of L1(G) if Lambda is a nicely placed Riesz set. We also study a weaker notion, the almost Daugavet property. We show that a closed subspace Y of a separable space X with the almost Daugavet property inherits this property if the quotient space X/Y does not contain a copy of the space of absolutely summable sequences. If X is L-embedded, then a closed separable subspace Y of X has the almost Daugavet property if it is not reflexive. This implies in the case of a metric compact abelian group G that L1_Lambda(G) has the almost Daugavet property if and only if Lambda is not a Lambda(1) set. Considering the continuous functions on a metric abelian group G, the space C_Lambda(G) has the almost Daugavet property if and only if Lambda contains infinitely many elements.

Ein Banachraum X hat die Daugavet-Eigenschaft, wenn jeder stetige und lineare Operator T auf X mit eindimensionalem Bild die sogenannte Daugavet-Gleichung ||Id + T|| = 1 + ||T|| erfüllt. Ein abgeschlossener Unterraum Y von X heißt reichhaltig, wenn jeder abgeschlossene Unterraum von X, der Y enthält, die Daugavet-Eigenschaft hat, und er heißt spärlich, wenn der Quotient X/Z die Daugavet-Eigenschaft hat für jeden abgeschlossenen Unterraum Z von Y. Ist G eine unendliche, kompakte, abelsche Gruppe versehen mit dem Haarschen Maß, so haben C(G) und L1(G) die Daugavet-Eigenschaft. Da auf G eine Gruppenstruktur existiert, können wir jede Funktion auf G um ein beliebiges x aus G verschieben. Ein abgeschlossener Unterraum X von C(G) oder L1(G) heißt nun translationsinvariant, falls X mit einer Funktion auch beliebige Verschiebungen von ihr enthält. Zu jedem solchen Unterraum X existiert eine Teilmenge Lambda der dualen Gruppe von G, so daß X genau diejenigen Elemente aus C(G) oder L1(G) enthält, deren Spektrum in Lambda liegt. Solche Räume bezeichnen wir mit C_Lambda(G) oder L1_Lambda(G). Ziel dieser Arbeit ist es zu untersuchen, welche translationsinvarianten Unterräume die Daugavet- Eigenschaft haben, welche reichhaltig oder spärlich sind, und welche Quotienten bezüglich translationsinvarianter Unterräume die Daugavet- Eigenschaft haben. Wir erweitern ein Resultat von D. Werner und zeigen, daß C_Lambda(G) genau dann ein reichhaltiger Unterraum von C(G) ist, wenn das Komplement von Lambda eine semi-Riesz-Menge ist. Außerdem wird gezeigt, daß das Komplement von Lambda eine semi-Riesz-Menge ist, wenn L1_Lambda(G) ein reichhaltiger Unterraum von L1(G) ist. Somit ist C_Lambda(G) ein reichhaltiger Unterraum von C(G), wenn L1_Lambda(G) ein reichhaltiger Unterraum von L1(G) ist. Beim Studium von Quotienten von C(G) oder L1(G) beweisen wir eine interessante Verbindung zwischen reichhaltigen Unterräumen von C(G) und Quotienten von L1(G) und umgekehrt. Betrachtet man spärliche Unterräume von L1(G), dann kann eine Brücke zu Ergebnissen von G. Godefroy, N. J. Kalton, und D. Li geschlagen werden. Somit erhält man, daß L1_Lambda(G) ein spärlicher Unterraum von L1(G) ist, wenn Lambda eine Riesz-Menge ist und die Einheitskugel von L1_Lambda(G) abgeschlossen ist bezüglich Konvergenz dem Maße nach. Wir untersuchen außerdem eine Abschwächung der Daugavet-Eigenschaft, die sogenannte fast-Daugavet-Eigenschaft. Wir zeigen, daß ein abgeschlossener Unterraum Y eines separablen Raumes X mit der fast-Daugavet-Eigenschaft diese Eigenschaft erbt, wenn der Quotient X/Y keine Kopie des Raumes der absolut summierbaren Folgen enthält. Ist X ein L-eingebetteter Raum, so hat ein separabler, abgeschlossener Unterraum von X die fast-Daugavet-Eigenschaft, wenn er nicht reflexiv ist. Dies führt im Falle einer metrischen, kompakten, abelschen Gruppe dazu, daß L1_Lambda(G) genau dann die fast-Daugavet- Eigenschaft hat, wenn Lambda keine Lambda(1)-Menge ist. Betrachtet man auf einer metrischen, kompakten, abelschen Gruppe die stetigen Funktionen, so hat der Raum C_Lambda(G) genau dann die fast-Daugavet-Eigenschaft, wenn Lambda aus unendlich vielen Elementen besteht.