Mean curvature flow of surfaces asymptotic to minimal cones

Abstract

In this thesis we study the mean curvature flow of hypersurfaces asymptotic to the Simons’ cone. From the work of Bomberi, De Giorgi and Giusti we know that R^8 is foliated by family of minimal hypersurfaces which are asymptotic to the Simons cone. We start our flow with a smooth hypersurface which lies underneath one of these foliating hypersurfaces (barrier) and which shares the symmetry property of the cone and this minimal foliation. Following the work of Ecker and Huisken, we show that given an initial bound on the gradient and sign on the mean curvature, we can obtain that the bound on the gradient is preserved by the flow and that the surface remains beneath the initial barrier minimal hypersurface. This in turns tells us that bounds on the second fundamental form and its derivatives are preserved. These combine to give us our main result: Mean curvature flow, starting with a hypersurface as described above will have a solution which exists for all time and which converges to a smooth minimal hypersurface asymptotic to the Simons’ cone, belonging to the family of hypersurfaces found in by Bombieri, De Giorgi and Giusti.

In dieser Arbeit untersuchen wir den mittleren Krümmungsfluss von Hyperflächen asymptotisch zum Simons Kegel. Aus den Arbeiten von Bomberi, De Giorgi und Giusti wissen wir, dass der R^8 durch eine Familie von minimalen Hyperflächen asymptotisch zum Simons Kegel geblättert wird. Wir beginnen unseren Fluss mit einer glatten Hyperfläche, die unterhalb einer blätternden Hyperfläche (Barriere) liegt und welche die Symmetrieeigenschaften des Kegels und der minimalen Blätterung hat. Den Arbeiten von Ecker und Huisken folgend zeigen wir: Ist eine Schranke an den Gradienten und ein Vorzeichen an die mittlere Krümmung gegeben, bleibt diese Schranke durch den Fluss erhalten und die Fläche bleibt unterhalb einer zu Anfung angenommen oberen minimalen Barrierefläche. Dies wiederum zeigt uns, dass Schranken an die zweite Fundamentalform und ihre Ableitungen erhalten bleiben. Zusammengenommen ergibt sich unser Hauptresultat: Der mittlere Krümmungsfluss, beginnend mit einer Hyperfläche mit obigen Eigenschaften, hat eine Lösung, die für alle Zeiten existiert und die gegen eine glatte minimale Hyperfläche asymptotisch zum Simons Kegel konvergiert, welche zur von Bombieri, De Giorgi und Giusti gefundenen Familie von Hyperflächen gehört.