In this thesis we study systems with linearly dispersing electrons and the effects disorder and a magnetic coupling can have on them. We focus on three examples: First we study the effects of potential disorder on the density of states at the nodal points in two-dimensional graphene and in three-dimensional Weyl semimetals. We obtain high-precision numerical data for the density of states of single nodal points and compare it to analytical perturbation theory calculations. At weak disorder strength, our results for the Weyl semimetal show a semimetallic phase with (to numerical accuracy) zero density of states at the nodal point. At stronger disorder strength, we find a finite density of states at the nodal point, in agreement with theoretical expectations. Second we study the effects of a magnetic coupling on the one-dimensional helical edge states of a two-dimensional topological insulator incorporated in a two-arm interferometer geometry and we find that due to the coupling to a magnetic insulator and interference effects a time-independent bias voltage can give rise to time-dependent currents. Additionally, Aharonov-Bohm oscillations due to a flux through the device are strongly suppressed at small applied bias voltages. The third and last example is a layered heterostructure consisting of a finite-width slab of a magnetic Weyl semimetal placed on top of a superconductor. The asymmetry of the heterostructure caused by the superconductor only being coupled to one of the two surfaces of the slab leads to an equilibrium current that flows parallel to the interface and we are able to show that it is carried mostly by the Fermi-arc surface states of the Weyl semimetal.
In dieser Arbeit werden anhand von drei Beispielen die Effekte von Unordnung und magnetischer Kopplung auf Elektronen mit linearer Dispersionsrelation in verschiedenen Dimensionen untersucht. Zuerst vergleichen wir numerische und analytische Berechnungen der Zustandsdichte von Graphen, einem zweidimensionalen Material, und einem Weyl-Halbmetall in drei Dimensionen am Dirac- beziehungsweise Weylpunkt. Anders als bei Graphen, wo jede endliche Unordnungsstärke eine endliche Zustandsdichte am Diracpunkt zur Folge hat, bleibt sie bei dem Weyl-Halbmetall bis zu einer kritischen Unordnungsstärke am Weylpunkt null. Der Vergleich der numerischen Berechnung mit der analytischen zeigt zwar qualitativ gute Übereinstimmung aber kann quantitativ die Ergebnisse der Numerik nicht exakt reproduzieren. Das zweite System ist ein Interferometer bestehend aus den zwei eindimensionalen helikalen Randzuständen eines zweidimensionalen topologischen Isolators, wovon einer an einen magnetischen Isolator gekoppelt ist der die Zeitumkehrsymmetrie bricht. Diese magnetische Kopplung zusammen mit Interferenzeffekten hat zur Folge, dass bei dem Anschluss einer zeitunabhängigen Spannung an das Interferometer zeitabhängige Ströme fließen. Weiterhin sind in diesem Interferometer die Aharonov-Bohm Oszillationen aufgrund eines durch das Interferometer gelegten Flusses bei niedrigen angeschlossenen Spannungen stark unterdrückt. Als letztes wird eine Heterostruktur, bestehend aus einer Schicht Weyl-Halbmetall mit endlicher Dicke die auf einem Supraleiter plaziert wird, analysiert. Aufgrund der einseitigen Kopplung des Weyl-Halbmetalls an den Supraleiter fließt ein Gleichgewichtsstrom entlang der Grenzschicht zwischen den beiden Systemen. Durch den Vergleich von verschiedenen Parameterregionen kann gezeigt werden, dass dieser Strom hauptsächlich von den Fermi-Bögen (den topologisch geschützten Oberflächenzuständen des Weyl-Halbmetalls) transportiert wird.
