The Artin Defect in Algebraic K-Theory

Abstract

For $m\in\mathbb{Z}$ the Artin defect of a finite cyclic group $C$ in degree $m$ is defined as the cokernel of the naturally induced map $\bigoplus_{D\lneq C}K_m(\mathbb{Z} D)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\to K_m(\mathbb{Z} C)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ where $\mathbb{Z} C$ denotes the integral group ring of $C$. We compute its dimension as a $\mathbb{Q}$-vector space and describe the natural action of the automorphism group of $C$ on the defect. The Artin defect is of importance when computing rational $K$-theory of integral group rings of any group using the Farrell-Jones conjecture. The Farrell-Jones conjecture is an approach to compute algebraic $K$-theory of group rings. It is known to be true for a large class of groups.

Der Artin Defekt einer endlichen zyklischen Gruppe $C$ im Grad $m\in\mathbb{Z}$ ist definiert als der Kokern der natürlich induzierten Abbildung $\bigoplus_{D\lneq C}K_m(\mathbb{Z} D)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\to K_m(\mathbb{Z} C)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ wobei $\mathbb{Z} C$ den ganzzahligen Gruppenring von $C$ bezeichnet. Wir berechnen die Dimension des Artin Defektes als $\mathbb{Q}$-Vektorraum und beschreiben die natürliche Wirkung der Automorphismengruppe von $C$ auf dem Defekt. Der Artin Defekt tritt bei der Berechnung der rationalen $K$-Theorie ganzzahliger Gruppenringe beliebiger Gruppen mittels der Farrell-Jones Vermutung auf. Die Farrell-Jones Vermutung ist ein Ansatz zur Berechnung der algebraischen $K$-Theorie von Gruppenringen. Sie wurde bereits für eine große Klasse von Gruppen bewiesen.