The Hysteretic Limit of a Reaction-Diffusion System with a Small Parameter

Abstract

This thesis is concerned with the study of a reaction-diffusion system with a nonlinearity that obeys a hysteresis law. This law is realized as an ensemble of scalar hysteresis operators, one defined at each spatial point and operating independently of one another. This independent ensemble approach is inspired by initial biological applications where combinations of diffusing and non-diffusing substances interact according to a hysteresis law. The individual operators are either non-ideal relays or solutions to an ordinary differential equation with a small parameter. Under a very general condition called spatial transversality we prove the well-posedness of the system with non-ideal relays and that it is approximated by the system with ordinary differential equations as the parameter goes to zero. For the first time in the partial differential equation setting, we prove explicit asymptotics with respect to this parameter. This work was supported by the Project A9: Reaction-diffusion systems: hysteresis and nonlocal interactions as part of Collaborative Research Center 910 Control of self-organizing nonlinear systems: Theoretical methods and concepts of application.

In dieser Arbeit untersuchen wir Reaktions-Diffusionsgleichungen, deren Nichtlinearität einem Hysterese-Gesetz folgt. Das Hysterese-Gesetz wird als eine Sammlung skalarer Operatoren umgesetzt, je einer an jedem räumlichen Punkt, die alle unabhängig voneinander reagieren. Diese Herangehensweise wird durch biologische Anwendungen gerechtfertigt, bei denen Kombinationen diffundierender und nicht-diffundierender Substanzen interagieren und dabei einem Hysterese-Gesetz folgen. Die einzelnen Operatoren sind entweder nichtideale Schalter („Relais") oder Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit einem kleinen Parameter. Unter einer sehr allgemeinen Bedingung, der sogenannten räumlichen Transversalität, beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen des Systems mit den nichtidealen Schaltern. Außerdem beweisen wir, dass das System mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen das System mit den nichtidealen Schaltern approximiert, wenn der kleine Parameter gegen Null geht. Im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen beweisen wir zum ersten Mal die explizite Asymptotik in Bezug auf diesen Parameter.