The present thesis deals with the fast and stable numerical solution of dynamical contact problems. This issue arises in the modeling and simulation of the human gait, for example. Adaptivity allows constructing effective algorithms which reach a given accuracy with a reasonable computational effort. The thesis concentrates on dynamical contact between two viscoelastic bodies modeled by the Signorini condition. This leads to non-smooth and nonlinear variational inequalities, for which only the existence of a solution has been proven up to now. Uniqueness and continuous dependence on the initial data are still open problems. A suitable numerical integrator in time is the contact-stabilized Newmark method by Deuflhard et al. In contrast to most other discretizations, this scheme is energy dissipative and no numerical instabilities occur. At first, the contact-stabilized Newmark method is improved with respect to a discrete persistency condition in this thesis. Subsequently, the aim is to construct an adaptive timestep control for this algorithm. As a necessary first step, a ``physical energy norm'' in function space is introduced. Within this norm, a perturbation result can be deduced for a certain class of dynamical contact problems. In a second step, novel consistency results for different Newmark methods are proven in physical energy norm. By means of a modification of the proof technique ``Lady Windermere's Fan'', the convergence of the improved contact-stabilized Newmark method can be shown within the framework of the method of time layers. This approach necessitates a supplementary investigation of perturbation results for the discrete evolution. In a final step, the adaptive control of timesteps requires the construction of a scheme of higher order to find an estimator for the consistency error. For this purpose, non-standard extrapolation methods are developed, which are based on a modified asymptotic error expansion. Finally, the adaptive variant of the improved contact-stabilized Newmark method is tried out for different examples. These investigations show a clear agreement between the theoretical insight and the numerical experiments. The algorithm is very stable and efficient for both a simple test problem and the simulation of the motion of a human knee.
Die vorliegende Dissertation ist der schnellen und stabilen numerischen Lösung von dynamischen Kontaktproblemen gewidmet, wie sie beispielsweise bei der Modellierung und Simulation des menschlichen Ganges auftreten. Adaptivität bietet hier die Möglichkeit effektive Algorithmen zu konstruieren, die mit vertretbarem Rechenaufwand eine vorgegebene Genauigkeit erreichen. Der Fokus der Dissertation liegt auf dynamischem Kontakt zwischen zwei viskoelastischen Körpern, der durch die Signorini-Bedingung modelliert wird. Dies führt auf nichtglatte und nichtlineare Variationsungleichungen, für die bisher lediglich die Existenz einer Lösung nachgewiesen ist, während Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit von den Anfangsdaten nach wie vor ungelöste Probleme darstellen. Für die numerische Zeitintegration bietet sich das kontaktstabilisierte Newmarkverfahren von Deuflhard et al. an, das im Gegensatz zu den meisten anderen Diskretisierungen sowohl energiedissipativ als auch frei von numerischen Instabilitäten ist. Im Rahmen dieser Arbeit wird zunächst das kontaktstabilisierte Newmarkverfahren unter dem Aspekt einer diskreten Persistenzbedingung weiter entwickelt. Ziel ist es dann, für diesen Algorithmus eine adaptive Steuerung der Zeitschrittweite zu konstruieren. Als erster notwendiger Schritt wird hierzu die ``physikalische Energienorm'' im Funktionenraum eingeführt, in der ein Störungsresultat für eine Klasse von dynamischen Kontaktproblemen hergeleitet werden kann. Im zweiten Schritt werden in dieser Norm neuartige Konsistenzresultate für unterschiedliche Newmarkverfahren bewiesen. Mit Hilfe einer Modifikation der Beweistechnik ``Lady Windermere's Fan'' lässt sich dann die Konvergenz des verbesserten kontaktstabilisierten Newmarkverfahrens im Rahmen der Zeitschichtenmethode nachweisen. Hierfür ist zusätzlich die Untersuchung von Störungsresultaten für die diskrete Evolution notwendig. Die adaptive Steuerung der Zeitschrittweiten erfordert schließlich die Konstruktion eines Verfahrens höherer Ordnung, um daraus einen Schätzer für den Konsistenzfehler zu erhalten. Hierfür werden speziell angepasste Extrapolationsmethoden entwickelt, die auf einer modifizierten asymptotischen Entwicklung des Fehlers basieren. Abschließend wird die adaptive Variante des verbesserten kontaktstabilisierten Newmarkverfahren an verschiedenen Beispielen getestet. Dabei zeigt sich eine deutliche Übereinstimmung von theoretischen Erkenntnissen und numerischen Experimenten. Sowohl für ein einfaches Testproblem als auch für die Simulation der Bewegung des menschlichen Knies verhält sich der Algorithmus sehr stabil und effizient.