A new analytical solution for the calculation of flexural rigidity: significance and application

Abstract

In 1939 a new concept was introduced by Vening-Meinesz proposing that the flexural strength of the lithosphere must be considered for isostatic models. A 4th order differential equation describing the flexure of a thin plate was developed. In the past the equation has been solved in frequency space using spectral methods (coherence and admittance). However, the admittance and coherence techniques have been questioned when applied to continental lithosphere. Both methods require an averaging process; therefore the variation in rigidity may be retrieved only to a limited extent. A large spatial window with a side length of at least 375 km is required over the study area. And, in where the input topography is characterized by low topographic variation, the method becomes unstable. These problems can be overcome by calculating the flexural rigidity with the convolution approach and furthermore with the use of a newly derived analytical solution of the differential equation mentioned above. This solution was developed out of three solutions from Hertz and has been made applicable to geological science. The analytical solution has been applied to both oceanic lithosphere (Nazca plate) and continental lithosphere (Central and Patagonian Andes). The resulting flexural rigidity values and their variations have been compared with the ideas and concepts developed by the members of the SFB267 community, and correlate well with tectonic units and fault systems. In the past the elastic thickness has been used synonymously for the flexural rigidity. However, the analytical solution leads to a new interpretation and meaning of the elastic thickness. It is shown that it is sufficient to operate with a constant value for both gravity and Poisson's ratio, as the variation of either parameter does not lead to a significant change in the distribution of flexural rigidity. Young's modulus is shown to be the driving factor for the flexural deformation. A temperature moment must also be taken into account in flexural investigations. Thus, the variation of the elastic thickness can be explained by temperature distribution and a change of the Young's modulus. A new definition of elastic thickness can be obtained: the value of the calculated elastic thickness is equivalent to the value of thickness of a corresponding plate described by a constant Young's modulus. Computations using the differential equation are valid for the crust/mantle interface (Moho) as well as the lithosphere/ asthenosphere boundary. The calculated boundary surface can be shifted at the position of the boundary at which a significant change of Young's modulus takes place.

Im Jahre 1939 wurde von Vening-Meinesz eine Theorie entwickelt, welche die Rigidität der Lithosphärenplatte innerhalb isostatischer Betrachtungen berücksichtigte. Dazu wurde eine Differentialgleichung 4. Ordnung verwendet, welche die Deformation einer dünnen Platte beschreibt. In der Vergangenheit wurde die Gleichung mittels der Spektralmethoden im Frequenz-Bereich gelöst. Aber bezüglich der Anwendung der Kohärenz- und Admittanzmethode auf die Kontinente wurde ihre Nützlichkeit aufgrund der Nachteile, welche durch den Spektralansatz entstehen, in Frage gestellt. Dieser Ansatz bedingt eine Durchschnittsbildung, welche im Falle einer sich räumlich stark variierenden Rigidität dazu führen kann, dass jene Variation nur bis zu einem begrenzten Mabe aufgelöst wird. Für das Untersuchungsgebiet ist eine Seitenlänge von mindestens erforderlich. Ein weiteres Problem tritt im Falle niedriger Topographie auf, da kleinere Spektralwerte zu Instabilitaeten innerhalb der Anwendung führen können. Durch die Verwendung der Konvolutionsmethode und der neu entwickelten analytischen Lösung der obig eingeführten Differentialgleichung werden diese Nachteile überwunden. Diese analytische Lösung wurde aus drei verschiedenen Lösungen nach Hertz entwickelt und für die geologischen Wissenschaften anwendbar gemacht. Die analytische Lösung wurde auf die ozeanische Lithosphäre im Bereich des Pazifik (Nazca-Platte) und auf die kontinentale Lithosphäre im Bereich der Zentral - und der Patagonischen Anden angewendet. Die resultierende Rigiditätsverteilung wird mit den von den Mitgliedern der SFB267 Gemeinschaft entwickelten Ideen und Konzepten verglichen, und ist durch eine gute Korrelation mit den tektonischen Einheiten und Störungssystemen charakterisiert. Bisher wurde die elastische Dicke und die flexurelle Rigidität synonym verwendet. Aber die analytische Lösung führte zu einem neuen Verständnis und Interpretation der elastischen Dicke. In Anbetracht der Untersuchungen zur Signifikanz der Inputparameter ist es zulässig mit einem konstanten Wert für die Schwere und dem Poisson-Verhältnis zu arbeiten, denn dies wird nicht zu signifikanten Unterschieden im Ergebnis führen. Dies gilt nicht für das Elastizitätsmodul, denn dieser Parameter ist ein entscheidender Faktor für das Deformationsverhalten. Daher kann die elastische Dicke auch als äquivalente Plattendicke für eine Platte konstanten Elastizitätsmoduls definiert werden. Zudem wurde herausgefunden, daß das Temperaturmoment in den weiteren Untersuchungen mit berücksichtigt werden muss. Damit kann die beobachtete Variation der elastischen Dicke durch die Temperaturverteilung und die Veränderung des Elastizitätsmoduls erklärt werden. Zusätzlich wurde gezeigt, daß die Berechnungen mittels der Differentialgleichung und der analytischen Lösung sowohl für die Krusten/Mantel Grenze als auch die Lithosphären/Asthenosphären Grenze gültig sind. Dabei ist entscheidend, an welcher Grenzfläche sich das Elastizitätsmodul ändert.