Geometry of Banach spaces, absolute sums and Köthe-Bochner spaces

Abstract

The purpose of this work is to study various geometric properties of Banach spaces, with particular emphasis on their stability with respect to the formation of (infinite) absolute sums and Köthe-Bochner spaces of vector- valued functions. The first three chapters are devoted to the class of acs (``alternatively convex or smooth'') Banach spaces and their relatives, the luacs and uacs spaces. These notions were introduced by Kadets et al. in 2000 (in connection with the so called anti-Daugavet property) and form common generalisations of the usual convexity and smoothness properties of Banach spaces. In the first chapter, these notions (as well as some other related properties introduced by the author) are studied from a general point of view. For example, some equivalent characterisations are established and results on duality and quotient spaces are discussed. In the second chapter, various results on (mainly infinite) absolute sums of acs spaces and their relatives are proved, while in the third chapter, acs properties of Köthe-Bochner spaces of vector-valued functions are discussed. The fourth chapter is devoted to the so called Opial property and its variants, as well as some other geometric notions (WORTH property and Garcia-Falset coefficient) of Banach spaces, which are all related to the fixed point property for nonexpansive mappings. Some stability results for these properties in certain infinite absolute sums are established. Furthemore, some properties analogous to the Opial property in Lebesgue-Bochner spaces and Ces`aro spaces of vector-valued functions are discussed. The fifth chapter concerns Banach spaces with the so called ``ball generated property'' (BGP). The stability of this property with respect to certain sums of two spaces is proved. The last chapter deals with generalised lush (GL) spaces, which were introduced by Huang et al. in 2013 in connection with the Mazur-Ulam extension problem. Some results on GL-spaces are established. In particular, every M-ideal in a GL-space is again a GL-space.

Die Dissertation befasst sich mit diversen geometrischen Eigenschaften von Banachräumen, mit besonderem Hinblick auf deren Stabilität unter der Bildung von (vorwiegend unendlichen) absoluten Summen und Köthe-Bochner-Räumen vektorwertiger Funktionen. Die ersten drei Kapitel sind den sogenannten acs- Räumen (von engl. ``alternatively convex or smooth'') und ihren Varianten, den luacs- und uacs-Räumen, gewidmet. Diese Begriffe wurden von Kadets et al. im Jahr 2000 eingeführt (im Zusammenhang mit der sogenannten Anti-Daugavet- Eigenschaft) und bilden eine gemeinsame Verallgemeinerung der üblichen Konvexitäts- und Glattheitsbegriffe für Banachräume. In Kapitel I werden diese Klassen von einem allgemeinen Standpunkt aus untersucht. So werden z.B. einige äquivalente Charakterisierungen bewiesen, ebenso wie Resultate betreffend die Dualitätstheorie und Quotienten dieser Räume. In Kapitel II werden diverse Resultate betreffend (unendliche) absolute Summen der acs-Räume und ihrer Varianten bewiesen, während in Kapitel III acs-Eigenschaften von Köthe- Bochner-Räumen vektor-wertiger Funktionen diskutiert werden. Kapitel IV behandelt die sogenannte Opial-Eigenschaft von Banachräumen und ihre Varianten, ebenso wie einige weitere geometrische Begriffe (WORTH-Eigenschaft und Garcia-Falset-Koefficient), die sämtlich in Zusammenhang mit der Fixpunkteigenschaft für nichtexpansive Abbildungen stehen. Einige Stabilitätsresultate für diese Eigenschaften in gewissen unendlichen absoluten Summen werden bewiesen. Ferner werden auch einige der Opial-Eigenschaft analoge Eigenschaften in Lebesgue-Bochner-Räumen und Ces`aro-Räumen vektor- wertiger Funktionen behandelt. Das fünfte Kapitel behandelt Banachräume mit der sogenannten ``ball generated property'' (BGP). Die Stabilität dieser Eigenschaft bezüglich der Bildung gewisser Summen zweier Räume wird bewiesen. Das letzte Kapitel behandelt sogenannte GL-Räume (von engl. ``generalised lush''), welche 2013 von Huang et al. im Zusammenhang mit dem Mazur-Ulam- Fortsetzungsproblem eingeführt wurden. Einige Resultate betreffend GL-Räume werden bewiesen, insbesondere, dass sich die Eigenschaft GL auf M-Ideale vererbt.