Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen, die unabhängig voneinander gelesen werden können. Beide Teile beschäftigen sich mit asymptotisch schnellen Übergängen. Einmal wird das Geschwindigkeitsfeld eines konzentrierten atmosphärischen Wirbels, das auf der synoptischen Längenskala in der Nähe der Wirbelzentrumslinie eine Singularität aufweist, betrachtet und analysiert. Das andere Mal wird das exponentielle Abklingen von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen untersucht und eine neue Sichtweise vorgestellt, um steifes Lösungsverhalten zu betrachten. In Teil i wird eine Möglichkeit dargestellt, die komplexen und sehr schwierig zu analysierenden atmosphärischen Vorgänge einheitlich zu vereinfachen. Ziel ist es, reduzierte Gleichungen für unterschiedliche Regime in der Atmosphäre aus den Navier- Stokes-Gleichungen abzuleiten. Dieses Vorgehen wird dann auf einen konzentrierten, beinahe achsensymmetrischen, stark geneigten, baroklinen Wirbel im Gradient-Wind-Regime, der in eine quasigeostrophische Hintergrundströmung mit schwacher vertikaler Scherung eingebettet ist, angewandt. In Teil ii werden gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet. Motiviert durch die Mehrskalenasymptotik, die es durch einen Grenzprozess ermöglicht, Prozesse auf unterschiedlichen Zeitskalen zu erkennen und im Rahmen einer asymptotischen Analyse zu beschreiben, werden nicht einzelne Differentialgleichungen, sondern durch ε parametrisierte Familien von Differentialgleichungen studiert. Dies eröffnet eine neue Sichtweise auf die mathematische Struktur steifen Verhaltens, und zwar unabhängig von numerischen Verfahren oder Diskretisierungen. Steifes Verhalten liegt dann vor, wenn gewisse Lösungskomponenten für ε → 0 exponentiell abklingen. Es wird gezeigt von welcher Gestalt diejenigen Mannigfaltigkeiten sind, auf die die Lösungskomponenten relaxieren, und wie diese Komponenten aussehen.
This work consists of two parts which can be read independently, though both parts deal with asymptotically fast transitions. Part i describes a method to consistently simplify complex atmospheric processes. The objective is to derive reduced equations for different atmospheric regimes from the Navier- Stokes equations. The method is then used on a concentrated nearly axisymmetric strongly tilted baroclinic vortex in gradient wind balance that is embedded in a quasi-geostrophic far-field flow with weak vertical shear. Part ii deals with parameterised families of ordinary differential equations. This approach is motivated by multiscale asymptotics and provides a new view on the mathematical structure of stiff behaviour that is independent of numerical schemes or discretisation. Stiffness occurs if certain components of the solution decay exponentially. The manifolds on which these solution components relax are described.
