dc.contributor.author
Volkmann, Alexander
dc.date.accessioned
2018-06-08T00:15:25Z
dc.date.available
2015-02-23T10:11:52.145Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/11688
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-15886
dc.description.abstract
In this thesis we consider the following three free boundary value problems
for (hyper-)surfaces that are governed by the mean curvature of the
(hyper-)surface: 1\. "A monotonicity formula for free boundary surfaces with
respect to the unit ball" We prove a monotonicity identity for compact
surfaces with free boundaries inside the boundary of the unit ball in Rn that
have square integrable mean curvature. As one consequence we obtain a Li-Yau
type inequality in this setting, thereby generalizing results of Oliveira and
Soret, and Fraser and Schoen. Then we derive some sharp geometric inequalities
for compact surfaces with free boundaries inside arbitrary orientable support
surfaces of class C2. Furthermore, we obtain a sharp lower bound for the L1
-tangent-point energy of closed curves in R3 thereby answering a question
raised by Strzelecki, Szumańska, and von der Mosel. 2\. "Relative
isoperimetric properties of asymptotically flat support surfaces" We define a
notion of mass for asymptotically flat hypersurfaces S of euclidean space and
prove a positive mass theorem in all dimensions. Then we establish a free
boundary version of an obstruction discovered by Schoen and Yau in their proof
of the positive mass theorem, and refined by Eichmair and Metzger, and very
recently by Carlotto: positive mean curvature of S in R3 is not compatible
with the existence of (certain) stable free boundary minimal surfaces. We then
use this to prove that given a compact set K of R3, all volume-preserving
stable free boundary constant mean curvature surfaces with respect to S of
sufficiently large boundary length will avoid K, thereby obtaining a free
boundary version of the main result in [Eichmair-Metzger, 2012]. Finally,
inspired by ideas of Eichmair and Metzger we prove the existence of
arbitrarily large isoperimetric regions relative to S. 3\. "Weak solutions of
nonlinear mean curvature flow with Neumann boundary condition" We propose a
new flow approach to obtain relative isoperimetric inequalities. As a first
step in this program we develop a weak level set formulation for mean
curvature flow and positive powers of mean curvature flow with Neumann
boundary condition. We prove the existence of weak solution under natural
conditions on the supporting surface and derive some properties for the
evolving surfaces. The case of surfaces without boundary has been treated by
Schulze.
de
dc.description.abstract
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir drei freie Randwertprobleme für
(Hyper-)Flächen welche durch die mittlere Krümmung der (Hyper-)Fläche
beschrieben werden: 1\. "Eine Monotonieformel für Flächen mit freiem Rand
bezüglich der Einheitskugel" Wir beweisen eine Monotonieidentität für kompakte
Flächen mit freien Rändern in dem Rand der Einheitskugel des Rn welche
quadratisch integrierbare mittlere Krümmung besitzen. Als eine Konsequenz
erhalten wir eine Ungleichung vom Li-Yau Typ für diesen Fall, wodurch wir
Resultate von Oliveira und Soret, und Fraser und Schoen verallgemeinern. Im
Anschluss leiten wir einige scharfe geometrische Ungleichungen für kompakte
Flächen mit freien Rändern in beliebigen orientierbaren Stützflächen der
Klasse C2 her. Außerdem erhalten wir eine scharfe untere Schranke an die
L1-Tangentialpunktenergie für geschlossene Kurven im R3, wodurch wir eine
Frage von Strzelecki, Szumańska, und von der Mosel beantworten. 2\. "Relative
isoperimetrische Eigenschaften asymptotisch flacher Stützflächen" Wir
definieren einen Massebegriff von asymptotisch flachen Hyperflächen S des
euklidischen Raums und beweisen ein positive-Masse-Theorem in allen
Dimensionen. Im Anschluss leiten wir eine freie-Randwert-Version einer
Obstruktion her, welche von Schoen und Yau in ihrem Beweis des positive-Masse-
Theorems entdeckt, und durch Eichmair und Metzger, und sehr kürzlich von
Carlotto verfeinert wurde: positive mittlere Krümmung von S in R3 ist nicht
kompatibel mit der Existenz (gewisser) stabiler Minimalflächen mit freiem
Rand. Wir benutzen dies dann um zu zeigen, dass für gegebenes Kompaktum K des
R3, alle stabilen Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung und freiem Rand
bezüglich S mit hinreichend großer Randkurvenlänge K entgehen, wodurch wir
eine freie-Randwert-Version des Hauptresultats in [Eichmair-Metzger, 2012]
erhalten. Schließlich, inspiriert durch Ideen von Eichmair und Metzger,
beweisen wir die Existenz von beliebig großen isoperimetrischen Mengen relativ
zu S. 3\. "Schwache Lösungen vom nichtlinearen Mittleren Krümmungsfluss mit
Neumann Randwerten" Wir schlagen einen neuen Flussansatz vor um relative
isoperimetrische Ungleichungen zu erhalten. Als ersten Schritt dieses
Programms entwickeln wir ein schwache Niveauflächenformulierung für den Fluss
entlang der mittleren Krümmung und entlang positiver Potenzen der mittleren
Krümmung mit Neumann Randwerten. Wir beweisen die Existenz von schwachen
Lösungen unter natürlichen Bedingungen an die Stützfläche und leiten einige
Eigenschaften der evolvierenden Flächen her. Der Fall für Flächen ohne Rand
wurde von Schulze behandelt.
de
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
geometric inequalities
dc.subject
minimal surfaces
dc.subject
mean curvature flow
dc.subject
relative isoperimetric problem
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::516 Geometrie
dc.title
Free boundary problems governed by mean curvature
dc.contributor.contact
alexv@gmx.de
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. Gerhard Huisken
dc.contributor.furtherReferee
Dr. habil. Felix Schulze, Reader
dc.date.accepted
2015-01-23
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000098728-1
dc.title.translated
Freie Randwertprobleme und mittlere Krümmung
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
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FUDISS_thesis_000000098728
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FUDISS_derivate_000000016600
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open access