Weakly interacting Bose gases in a disorder environment have long been a challenging topic in the field of solid-state physics due to the intriguing interplay between superfluidity and localization. In this thesis we investigate theoretically the equilibrium properties of one- and three-dimensional harmonically trapped dirty Bose-Einstein condensates (BECs). In particular we focus on the decomposition of the total particle density into three components, namely, the condensate density, the thermal density, and the density of fragmented local Bose-Einstein condensates within the respective minima of the random potential landscape. In order to determine the different density components we develop a Hartree-Fock mean-field theory for a weakly interacting trapped BEC in a random environment, then specialize it to contact interaction and delta-correlated disorder. This non-perturbative theory is worked out on the basis of the replica method, which represents a well- established tool to deal with disorder problems. With this we calculate the corresponding free energy at finite temperature and derive from it the underlying self-consistency equations for the respective density components. Then, as a first step, we investigate a quasi one-dimensional Bose-Einstein condensed gas in a harmonic trapping potential with an additional delta- correlated disorder potential at zero temperature. To this end we solve the self-consistency equations within the Thomas-Fermi approximation and find the emergence of a Bose-glass region, where the condensate vanishes. We corroborate this analysis by an elaborate numerical treatment, where the corresponding one-dimensional time-independent Gross-Pitaevskii equation is numerically solved and disorder-ensemble averages of the condensate wave function are performed. The variance of the condensate wave function quantifies the number of bosons which condense in the local minima of the random potential. For weak disorder these mini-condensates turn out to occur preferentially at the border of the condensate, while for intermediate disorder strength this happens in the trap center. Additionally we use a variational ansatz in order to describe analytically the numerically observed redistribution of the fragmented mini-condensates with increasing disorder strength. In close analogy to the one-dimensional case we then treat the three-dimensional dirty Bose gas in an isotropic harmonic trap and a delta- correlated disorder potential at zero temperature using the corresponding self-consistency equations obtained via the Hartree-Fock mean-field theory within the Thomas-Fermi approximation. Additionally we use a variational ansatz, whose results turn out to coincide qualitatively with those obtained from the Thomas-Fermi approximation. Inparticular, a first order quantum phase transition from the superfluid phase, where the condensate density contributes to the total density, to the Bose-glass phase, where all particles are in the mini-condensates, is detected at a critical disorder strength, which agrees with findings in the literature. Furthermore, in a generaltriaxial harmonic trap, we investigate the geometric effect of different trap aspect ratios on the respective properties of the dirty BEC system. Finally, we consider the three- dimensional dirty BEC at finite temperature. This allows us to study the impact of both temperature and disorder fluctuations on the respective components of the density as well as their Thomas-Fermi radii. In particular, we find that the superfluid region, the Bose-glass region, and the thermal region coexist. Furthermore, depending on the system parameters, three phase transitions are detected, namely, one from the superfluid to the Bose-glass phase, one from the Boseglass to the thermal phase, and finally one directly from the superfluid to the thermal phase. All these results could be particularly useful for a quantitative analysis of world-wide on-going experiments with dirty bosons in quasi one-dimensional and three-dimensional harmonic traps.
Schwach wechselwirkende Bose-Gase in einer Unordnungsumgebung sind aufgrund des interessanten Zusammenspiels von Superfluidität und Lokalisierung seit langem ein schwieriges Thema im Gebiet der Festkörperphysik. In dieser Arbeit untersuchen wir theoretisch die Gleichgewichtseigenschaften eines ein- und eines dreidimensionalen harmonisch gefangenen schmutzigen Bose-Einstein- Kondensates (BEKs). Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Zerlegung der totalen Teilchendichte in seine drei Komponenten, nämlich die Kondensatdichte, die thermische Dichte und die Dichte der fragmentierten Bose-Einstein- Kondensate innerhalb der jeweiligen Minima der zufälligen Potentiallandschaft. Um die verschiedenen Dichtekomponenten zu bestimmen, entwickeln wir eine Hartree-Fock-Molekularfeldtheorie für ein schwach wechselwirkendes gefangenes BEK in einer Zufallsumgebung, dann spezialisieren wir diese auf eine Kontaktwechselwirkung und eine delta-korrelierter Unordnung. Diese nichtstörungstheoretische Theorie wird auf der Grundlage der Replika-Methode ausgearbeitet, die eine wohletablierte Methode zur Behandlung von Unordnungsproblemen darstellt. Damit berechnen wir die entsprechende freie Energie bei endlicher Temperatur und leiten daraus die zugrunde liegenden Selbstkonsistenzgleichungen für die jeweiligen Dichtekomponenten ab. Dann untersuchen wir als ersten Schritt ein quasi eindimensionales Bose-Einstein kondensiertes Gas in einem harmonischen Fallenpotential mit einem zusätzlichen delta-korrelierten Unordnungspotential am absoluten Temperaturnullpunkt. Hierzu lösen wir die Selbstkonsistenzgleichungen mit der Thomas-Fermi-Näherung und finden die Emergenz einer Bose-Glas-Region, wo das Kondensat verschwindet. Wir untermauern diese Analyse mit einer aufwändigen numerischen Behandlung, bei der die entsprechende eindimensionale zeitunabhängige Gross-Pitaevskii- Gleichung numerisch gelöst wird und Unordnungsensemble-Mittelwerte für die Kondensatwellenfunktion berechnet werden. Die Varianz der Kondensatwellenfunktion quantifiziert die Zahl der Bosonen, die in den lokalen Minima des Zufallspotentials kondensieren. Für schwache Unordnung stellt sich heraus, dass diese Minikondensate bevorzugt am Rande des Kondensates auftreten, während für mittlere Unordnungsstärke dies nur im Fallenzentrum auftritt. Außerdem verwenden wir einen Variationsansatz, um die numerisch beobachtete Umverteilung der fragmentierten Minikondensate mit zunehmender Unordnungsstärke analytisch beschreiben zu können. In enger Analogie zum eindimensionalen Fall behandeln wir dann das dreidimensionale schmutzige Bose- Gase in einer isotropen harmonischen Falle und einem delta-korrelierten Unordnungspotential am absoluten Temperaturnullpunkt mit Hilfe der entsprechenden Selbstkonsistenzgleichungen, die im Rahmen der Hartree-Fock- Molekularfeldtheorie in Thomas-Fermi-Näherung gewonnen wurden. Zusätzlich verwenden wir einen Variationsansatz, dessen Resultate qualitativ mit denen der Thomas-FermiNäherung übereinstimmen. Insbesondere finden wir einen Quantenphasenübergang erster Ordnung von der superfluiden Phase, wo die Kondensatdichte zur totalen Dichte beiträgt, zu der Bose-Glasphase, wo sich die Teilchen in den Mini-Kondensaten aufhalten, bei einer kritischen Unordnungsstärke, die mit den Ergebnissen der Literatur übereinstimmt. Außerdem untersuchen wir in einer allgemein tri-axialen harmonischen Falle den geometrischen Effekt verschiedener Frequenzverhältnisse auf die entsprechenden Eigenschaften des schmutzigen BEK-Systems. Abschließend betrachten wir ein dreidimensionales schmutziges BEK bei endlicher Temperatur. Dies erlaubt es uns, den Einfluß sowohl von thermischen als auch von Unordnungs-Fluktuationen auf die jeweiligen Komponenten der Dichte sowie der Thomas-Fermi-Radien zu untersuchen. Insbesondere finden wir, dass die superfluide Region, die Bose- Glas-Region und die thermische Region koexistieren. Ferner werden abhängig von den systemparametern drei Phasenübergänge beobachtet, nämlich einer von der superfluiden zur Bose-Glas-Phase, einer von der Bose-Glas zur thermischen Phase, und schließlich einer direkt von der superfluiden zur thermischen Phase. All diese Resultate könnten besonders nützlich sein, um laufende Experimente mit schutzigen Bosonen in quasi ein- und dreidimensionalen Fallen quantitativ zu analysieren.
