The Baum-Connes conjecture, Swan group actions and controlled topology

Abstract

The Farrell-Jones conjecture in algebraic K-theory proposes a formula for the K-groups of group rings. Similarly, the Baum-Connes conjecture proposes a formula for the topological K-groups of the reduced group C*-algebra. Both conjectures are known for large classes of groups. We present, for the first time, a proof for some cases of the Baum-Connes conjecture which employs the methods used for proving cases of the Farrell-Jones conjecture. The main ingredients are controlled algebra and induction theorems for group representations.

Die Farrell-Jones-Vermutung in der algebraischen K-Theorie sagt vorher, wie sich die K-Gruppen von Gruppenringen verhalten. Die Baum-Connes-Vermutung ist eine ähnliche Vermutung über die topologische K-Theorie von Gruppen-C*-Algebren. Beide Vermutungen sind für viele Gruppen bekannt. In dieser Arbeit wird ein Beweis einiger Fälle der Baum-Connes-Vermutung mit den Beweismethoden der Farrell-Jones-Vermutung gegeben. Die wichtigsten Hilfsmittel sind kontrollierte Algebra und Induktionstheoreme aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen.