On the late-time asymptotics of the non-minimally coupled Einstein-scalar field system

Abstract

The aim of this thesis is to study the late-time asymptotics of cosmological models with accelerated expansion in which the acceleration is caused by a non-minimally coupled scalar field. While the dynamics of such models is well- understood in the case of spatially homogeneous and isotropic solutions, only a few mathematical results exist in cases with less or no symmetry at all. The method used here, originally developed by Rendall, is based on formal power series solutions and requires a positive lower bound on the potential of the scalar field. In a first step, after making precise the notion of generalized formal power series solutions and the sense in which they are supposed to solve the Einstein-scalar field system, their existence and uniqueness is proven inductively and some of their basic properties are established. In a second step it is shown that, given a solution of the Einstein-scalar field system which exists globally towards the future with respect to a Gaussian time coordinate and satisfies certain decay conditions, there exists precisely one formal power series solution of the type considered that is asymptotic to the given solution. The fact that there actually exists a large class of solutions of the Einstein-scalar field system fulfilling the above hypotheses is proven in a final step. For this, the system is reduced to first order and, using a formal series solution, put into Fuchsian form. This system can then be solved in the analytic setting to yield a solution that exists globally towards the future with respect to a Gaussian time coordinate and with its late-time asymptotics given by the formal power series. In addition, spatially homogeneous scalar field models are considered, where the extra symmetry allows more general potentials without a positive lower bound and the presence of matter to be treated. By establishing conditions for accelerated expansion and isotropization for models with a direct coupling to the matter, statements about the late-time behaviour of curvature-coupled scalar field models with exponential potentials can be deduced using a conformal transformation. It turns out that any arbitrarily small positive coupling of the field to the scalar curvature of space-time results in a late-time asymptotics which, in the minimally coupled case, can only be expected in the presence of a positive cosmological constant.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Langzeitasymptotik von Lösungen kosmologischer Modelle mit beschleunigter Expansion, im Besonderen solcher, bei denen ein nichtminimal gekoppeltes Skalarfeld für die Beschleunigung ursächlich ist. Während die in derartigen Modellen auftretende Dynamik in Fällen hoher Symmetrie, das heißt im Speziellen von räumlich homogenen und isotropen Lösungen, ausreichend gut verstanden ist, gibt es in allgemeineren Situationen nur wenige mathematische Resultate. Als Ausgangspunkt dienen verallgemeinerte formale Potenzreihenlösungen der Einstein- Skalarfeldgleichungen unter Voraussetzung einer positiven unteren Schranke an das Potential des Skalarfeldes. Nach einer geeigneten Präzisierung des Begriffs dieser formalen Reihen und des Sinns, in welchem solche Reihen die Einstein-Skalarfeldgleichungen lösen sollen, werden Existenz und Eindeutigkeit formaler Lösungen induktiv bewiesen und einige ihrer grundlegenden Eigenschaften festgestellt. In einem nächsten Schritt wird gezeigt, dass es zu einer gegebenen tatsächlichen Lösung dieser Gleichungen, die bezüglich einer Gauß'schen Zeitkoordinate global in die Zukunft existiert, unter geeigneten Voraussetzungen genau eine formale Lösung gibt, welche dazu asymptotisch ist. Letztlich wird festgestellt, dass in der Tat eine große Klasse von Lösungen mit der betrachteten Asymptotik existiert. Dazu wird das Einstein- Skalarfeldsystem auf erste Ordnung reduziert und vermöge der formalen Lösungen in Fuchs'sche Form gebracht. Unter Anwendung eines Satzes über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Fuchs'scher Systeme werden analytische Lösungen der Einstein-Skalarfeldgleichungen erhalten, welche bezüglich einer Gauß'schen Zeitkoordinate global in die Zukunft existieren und eine vorgeschriebene Langzeitasymptotik besitzen. Darüber hinausgehend werden auch räumlich homogene Modelle betrachtet, in denen es die verlangte Symmetrie gestattet, allgemeinere Potentiale, namentlich solche ohne positive untere Schranke, im Beisein zusätzlicher Materiefelder zu behandeln. Nachdem für Modelle, die eine direkte Kopplung des Skalarfeldes zur restlichen Materie erlauben, Kriterien für asymptotische beschleunigte Expansion und Isotropisierung festgestellt wurden, werden diese Resultate benutzt, um mit Hilfe einer konformen Transformation Aussagen über die Langzeitasymptotik eines krümmungsgekoppelten Skalarfeldes in einem exponentiellen Potential abzuleiten. Es zeigt sich, dass eine beliebig kleine, positive direkte Kopplung zur skalaren Krümmung der Raumzeit in einem Langzeitverhalten resultiert, das bei minimaler Kopplung nur in Gegenwart einer positiven kosmologischen Konstanten zu erwarten wäre.