The inverse mean curvature flow for hypersurfaces with boundary

Abstract

The evolution of hypersurfaces in the direction of the unit normal with speed equal to the reciprocal of the mean curvature is called inverse mean curvature flow (IMCF). In the case of closed hypersurfaces this flow is well studied. One of the classical results goes back to Gerhardt (see also Urbas). He proved long-time existence and convergence to a round sphere for star-shaped initial data with strictly positive mean curvature. A more recent result with a striking application to theoretical physics is due to Huisken and Ilmanen. They defined weak solutions of IMCF and proved existence and uniqueness of such solutions. This was one of the main tools in their proof of the Riemannian Penrose inequality which gives an estimate for the mass in general relativity. In the current work we will investigate IMCF in the case where the hypersurfaces possess a boundary and move along, but stay perpendicular to, a fixed supporting hypersurface. The work is organized as follows: We will use Chapter 1 to give a more detailed overview about geometric evolution equa- tions in general and about IMCF for closed hypersurfaces in particular. Furthermore, we will specify our setup for hypersurfaces with boundary. The first question which we have to answer is whether or not this flow has a solution for a small time. This short-time existence result is obtained in Chapter 2, Theorem 2.12 by writing the hypersurface as a graph over the initial hypersurface and reducing the equations to a scalar parabolic Neumann problem. This approach was also used by Stahl for hypersurfaces with boundary evolving under mean curvature flow. The counter example of a half-torus evolving on a plane shows that long-time existence cannot be expected in general. However, in the case where the supporting hypersurface is a convex cone and the initial hypersurface is star-shaped and has strictly positive mean curvature, we are able to prove long-time existence and convergence to a spherical cap. This work is carried out in Chapter 3. The main result is Theorem 3.21. This is the analogous statement to the one of Gerhardt for closed hypersurfaces. In order to deal with more general supporting hypersurfaces we follow the ideas of Huisken and Ilmanen and define weak solutions in Chapter 4. First, we use a level- set approach together with a regularization procedure to obtain solutions for a family of regularized elliptic mixed boundary value problems in domains with corners. These solu- tions give rise to a converging sequence of weak solutions one dimension higher. Thanks to a compactness result we can finally prove that the limit is the unique minimizer of a certain functional related to the level-set problem. This program yields existence and uniqueness for weak solutions of IMCF in the case of hypersurfaces with boundary in Theorem 4.47.

Diese Arbeit befasst sich mit Hyperflächen, welche sich in Richtung der Einheitsnormalen mit der Geschwindigkeit reziprok zur mittleren Krümmung bewegen. Diese Evolutionsgleichung heisst Fluß entlang der inversen mittleren Krümmung (engl. inverse mean curvature flow, kurz IMCF). Die hier betrachteten Hyperflächen besitzen einen Rand. Dieser soll senkrecht auf einer festen Stützfläche aufsitzen und sich entlang dieser bewegen. In Kapitel 1 wird ein Überblick über geometrische Evolutionsgleichungen im Allgemeinen und IMCF für geschlossene Flächen im Speziellen gegeben. Der dritte Abschnitt des ersten Kapitels beschreibt das Evolutionsproblem für Hyperflächen mit Rand und stellt somit den Startpunkt für die folgenden Untersuchungen dar. Die erste Frage, die man sich stellen muss ist, ob die Evolutionsgleichung wenigstens für eine kurze Zeitspanne eine Lösung besitzt. Dieses Resultat über Kurzzeitexistenz erhalten wir im Kapitel 2, Theorem 2.12, indem wir die Hyperflächen für kleine Zeiten als Graphen uber der Anfangsfläche darstellen. Dadurch lässt sich die Evolutionsgleichung auf ein skalares, parabolisches Neumannproblem reduzieren. Dieser Zugang wurde auch von Stahl für den Fluß entlang der mittleren Krümmung (engl. mean curvature flow) verwendet. Die natürliche Frage, die sich als nächstes stellt, ist die der Langzeitexistenz. Das Gegenbeispiel eines Halb- Torus, welcher sich auf einer Ebene bewegt zeigt, dass man für den klassischen Fluß im Allgemeinen keine Langzeitexistenz erwarten kann. Daher betrachten wir im Kapitel 3 den Spezialfall eines konvexen Kegels als feste Stützfläche und betrachten Anfangsflächen positiver mittlerer Krümmung, welche bezüglich der Kegelspitze sternförmig sind. In Kapitel 3, Theorem 3.21 beweisen wir unter diesen Voraussetzungen Langzeitexistenz und Konvergenz zu einer sphärischen Kappe. Für geschlossene Flächen geht dieses Resultat auf Gerhardt zurück. Um Aussagen für allgemeinere Stützflächen zu erhalten, folgen wir im Kapitel 4 den Ideen von Huisken und Ilmanen und definieren schwachen Lösungen. Dafür führen wir eine Niveauflächenformulierung des Evolutionsproblems ein. Dies führt zu einem degenerierten elliptischen Problem mit gemischten Randwerten in einem Gebiet mit Kanten. Dieses Problem lässt sich durch elliptische Regularisierung zunächst approximativ lösen. Die approximativen Lösungen erlauben es, eine Folge von schwache Lösungen in einer höheren Dimension zu konstruieren. Zusammen mit einem Kompaktheitsresultat erhält man schließlich eine Grenzfunktion, die der eindeutige Minimierer eines mit dem Evolutionsproblem zusammenhängenden Funktionals ist. Dies führt in Kapitel 4, Theorem 4.47 zu einem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für schwache Lösungen des IMCF für Hyperlächen mit Rand. Dieses Theorem ist das Hauptergebnis dieser Arbeit.