Eine Mehrgitter-Methode zur Lösung des Eigenwertproblems der komplexen Helmholtzgleichung

Abstract

Die Arbeit hat die Lösung des Eigenwertproblems der skalaren komplexen Helmholtzgleichung auf einem beschänkten, zweidimensionalen Gebiet mit Dirichlet-Randbedingung zum Thema. Es werden einige bekannte Aussagen über die analytischen Eigenschaften dieses nichtselbstadjungierten Eigenwertproblems (Struktur des Spektrums, Vollständigkeit der Eigenlösungen) diskutiert. Den Schwerpunkt der Arbeit bildet die approximative Bestimmung von Eigenlösungen zu den Eigenwerten mit kleinsten Realteilen. Es wird eine Mehrgitter-Methode zur Lösung der bei Diskretisierung mit linearen finiten Elementen über adaptiv erzeugten Triangulierungen entstehenden algebraischen Eigenwertprobleme vorgestellt. Das entwickelte Verfahren zur Lösung des nichtselbstadjungierten Problems stellt eine Verallgemeinerung eines existierenden Mehrgitter- Algorithmus für den selbsadjungierten Fall dar. Die für Mehrgitter-Verfahren typische optimale Komplexität wird anhand einiger numerischer Beispiele, u. a. aus der integrierten Optik, dokumentiert.

The thesis deals with the solution of the eigenvalue problem of the scalar complex Helmholtz equation on a bounded, two-dimensional region with Dirichlet boundary condition. We discuss some analytic properties, e.g., the structure of the spectrum and the completeness of the eigensolutions, of this nonselfadjoint eigenvalue problem. The focal point of the thesis lies on the description of numerical techniques for the approximate computation of the eigensolutions corresponding to the eigenvalues with lowest real parts. We present a multigrid method for the solution of the algebraic eigenvalue problems arising from discretization with linear finite elements on adaptive generated triangulations. The described method for the solution of the nonselfadjoint problem is a generalization of a known multigrid algorithm for the selfadjoint case. The typical optimal complexity of a multigrid method is documented by some numerical examples, e.g., from integrated optics