Idempotent filters and ultrafilters

Abstract

In this dissertation we will investigate filters on semigroups and their properties regarding algebra in the Stone-Cech compactification. The set of ultrafilters on a set S can be regarded as βS, the Stone-Cech compactification of S with the discrete topology. If S is a semigroup, we can define an associative operation on βS extending the operation on S. This can be done in such a way that the multiplication with a fixed right hand element is continuous; by the Ellis-Numakura Lemma there exist idempotent elements in βS, i.e., idempotent ultrafilters. Idempotent ultrafilters play the central role in the field of algebra in the Stone-Cech compactification especially because they allow for elegant proofs of Ramsey-type theorems such as Hindman’s Finite Sums Theorem, the Hales-Jewett Theorem and the Central Sets Theorem. Although ultrafilters are a natural topic of interest to set theorists, there are only few independence results regarding idempotent ultrafilters. In Chapter 3, we develop a uniform approach to adjoin idempotent ultrafilters by means of the forcing method. We are also able to produce a way to discern non-equivalent forcing notions by associating each forcing for adjoining idempotent ultrafilters with an already established notion for adjoining set theoretically interesting, non-idempotent ultrafilters. For these constructions, we study the notion of idempotent filter in Chapter 2. This notion is based on the natural generalization of the multiplication of ultrafilters to arbitrary filters. Idempotent filters are implicit in many applications in the field. Besides the usefulness for our forcing constructions, the notion of idempotent filter gives rise to a beautiful theory which we develop in Chapter 2. For example, idempotent filters correspond to subsemigroups of βS with strong closure properties and the notion is also a generalization of the concept of partial semigroups. The development of the theory of idempotent filters also allows us to give a simplified proof of Zelenyuk’s Theorem on finite groups in the Stone- Cech compactification. The forcing constructions give rise to the following question: what combinatorial and algebraic properties can these forcing constructions have? To make progress on this question it is natural to investigate the classical notions, i.e., the set theoretic and combinatorial properties of union ultrafilters as well as the algebraic properties of summable ultrafilters. In Chapter 4, we answer the open question negatively whether a union ultrafilter is already ordered union if certain images of it are selective ultrafilters. In Chapter 5, we investigate the algebraic properties of summable ultrafilters. In particular, we prove that a certain “special” property for summable ultrafilters is automatic and apply this fact to extend a theorem by Hindman and Strauss on writing summable ultrafilters as sums.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Filter auf Halbgruppen und deren Eigenschaften bezüglich Algebra in der Stone-Cech Kompaktifizierung. Die Menge der Ultrafilter auf einer Menge S kann mit βS identifiziert werden, der Stone- Cech Kompaktifizierung von S mit diskreter Topologie. Ist S eine Halbgruppe, so lässt sich eine assoziative Operation auf βS definieren, die die ursprüngliche Operation auf S fortsetzt. Dies ist dergestalt möglich, dass die Operation stetig ist, solange das rechtsseitge Element fixiert ist; nach dem Lemma von Ellis-Numakura gibt es daher idempotente Elemente in βS, d.h. idempotente Ultrafilter. Idempotente Ultrafilter stehen im Zentrum des Forschungsgebiets der Algebra in der Stone-Cech Kompaktifizierung vor allem, weil sie elegante Beweise für ramseytheoretische Resultate wie den Satz von Hindman, den Satz von Hales-Jewett und den Satz von zentralen Mengen ermöglichen. Obwohl Ultrafilter für Mengentheoretiker von natürlichem Interesse sind, gibt es nur wenige Unabhängigkeitsresultate zu idempotenten Ultrafiltern. In Kapitel 3 entwickeln wir eine allgemeine Herangehensweise, um idempotente Ultrafilter mit Hilfe der Forcingmethode zu adjungieren. Außerdem sind wir in der Lage, die Forcingkonstruktionen zu unterscheiden, indem wir sie mit den Konstruktionen von Daguenet und Laflamme assoziieren. Zu diesem Zweck studieren wir in Kapitel 2 den Begriff des idempotenten Filters, welcher auf der natürlichen Verallgemeinerung der Multiplikation von Ultrafiltern zu einer Multiplikation von Filtern basiert. Idempotente Filter sind implizit in vielen Anwendungen des Gebietes. Neben ihrer Nützlichkeit für die Forcingkonstruktionen besitzen idempotente Filter eine elegante Theorie, die wir in Kapitel 2 entwickeln. Zum Beispiel induzieren idempotente Filter Halbgruppen mit sehr starken Abschlusseigenschaften und verallgemeinern das Konzept der partiellen Halbgruppen. Die Theorie der idempotenten Filter emöglicht uns außerdem eine vereinfachten Beweis einer Verallgemeinerung des Satz von Zelenyuk über endliche Gruppen in βS zu führen. Die Forcingkonstruktionen legen folgende Frage nahe: Welche kombinatorischen und algebraischen Eigenschaften können unsere Forcingkonstruktionen besitzen? Um sich dieser Frage zu nähern, liegt die Analyse der mengentheoretischen und kombinatorischen Eigenschaften der sogenannten Union Ultrafilter sowie der algebraischen Eigenschaften der summierbaren Ultrafilter nahe. In Kapitel 4 beantworten wir die offene Frage negativ, ob ein Union Ultrafilter schon Ordered Union ist, falls bestimmte Bilder des Ultrafilters Ramsey Ultrafilter sind. In Kapitel 5 untersuchen wir die algebraischen Eigenschaften der summierbaren Ultrafilter. Insbesondere zeigen wir, dass die „special“ Bedingung von allen Summierbaren erfüllt wird, und verallgemeinern mit Hilfe dieses Resultats einen Satz von Hindman und Strauss über summierbare Ultrafilter als Summen.