Subalgebras of small Souslin Algebras and maximal chains in Souslin Algebras

Abstract

We address problems from infinitary combinatorics and the theory of complete Boolean algebras. As background theory we assume ZFC. A subset K of a Boolean algebra B will be called a chain of B if it is totally ordered by the canonical partial ordering on B. The set of chains of B is inductively ordered by the subset-relation, so a simple application of Zorn's Lemma gives the existence of maximal chains. We say that a Boolean algebra is chain homogeneous if all its maximal chains are pairwise isomorphic as linear orders. The basic question which motivated this thesis was, whether there is under appropriate set theoretical assumptions an atomless and chain homogeneous, atomless and complete Boolean algebra B, such that the maximal chains of B are not isomorphic to the real unit interval [0,1]. At the bottom of this question were two observations: Few, but very prominent complete Boolean algebras are chain homogeneous, such as the Cohen algebras and measure algebras. But their maximal chains are all isomorphic to [0,1]. On the other hand, every maximal chain K of a chain homogeneous and atomless, complete Boolean algebra B is a complete linear order with endpoints that satisfies the countable antichain condition (c.c.c.), i.e., every family of pairwise disjoint, open intervals of K is countable. Therefore, our problem is tightly related to Souslin's Hypothesis (SH), which states that every complete and dense, linear order is already isomorphic to a real interval if it satisfies the c.c.c. If we assume SH, then our question is immediately answered to the negative. However, in the 1960's years it has been proved that SH is independent from ZFC, i.e., if ZFC is consistent then so are the two theories ZFC + SH and ZFC + not-SH. A counter-example to Souslin's hypothesis is called a Souslin line and the orresponding complete Boolean algebras are Souslin algebras. We should also mention Souslin-trees, which are a manifestation of the same phenomenon and the main technical tool used in this context. For a Souslin algebra B, all maximal chains of B are Souslin lines. So our basic question has the following reformulation: Is it consistent relative to ZFC that there is a chain homogeneous Souslin algebra? The main result of this paper is the affirmative answer to this question. Assuming the principle Diamond-plus (which is consistent relative to ZFC) we give three constructions of chain homogeneous Souslin algebras. To lay the grounds for these constructions, we have extended the existing representation theory for Souslin algebras and their subalgebras. Furthermore we use this representation theory to develop a structure theory for regular embeddings between Souslin algebras and extend the known structure theory for certain classes of Souslin trees (strongly homogeneous trees and full trees).

Diese Dissertation ist im Bereich der kombinatorischen Mengenlehre und der Theorie der Booleschen Algebren angesiedelt. Als Rahmentheorie setzen wir die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom, kurz ZFC voraus. Wir wollen eine Teilmenge K einer vollständigen Booleschen Algebra B als Kette bezeichnen, falls K von der kanonischen partiellen Ordnung auf B linear angeordnet wird. Die Menge der Ketten von B ist durch die Teilmengenbeziehung induktiv geordnet, so dass aus einer einfachen Anwendung des Zornschen Lemmas sofort die Existenz maximaler Ketten folgt. Eine Boolesche Algebra ist kettenhomogen, wenn alle ihre maximalen Ketten zueinander isomorph sind. Die Ausgangsfrage war, ob es unter geeigneten mengentheoretischen Voraussetzungen eine atomlose und kettenhomogene, vollständige Boolesche Algebra B gibt, deren maximale Ketten aber nicht isomorph zum reellen Einheitsintervall [0,1] sind. Dieser Frage liegt die Beobachtung zugrunde, dass die maximalen Ketten K einer vollständigen, kettenhomogenen Booleschen Algebra B stets vollständige, lineare Ordnungen mit Endpunkten sind und die abzählbare Antikettenbedingung (c.c.c.) erfüllen, d.h. jede Familie paarweise disjunkter, offener Intervalle ist abzählbar. Somit ist unser Problem eng mit Souslins Hypothese SH verknüpft, welche postuliert, dass jede vollständige und dichte, lineare Ordnung, welche die c.c.c. erfüllt, ordnungsisomorph zu einem Intervall der reellen Zahlen ist. Wenn wir SH annehmen, folgt sofort, dass die Antwort auf unsere Ausgangsfrage negativ ausfällt. In den 1960'er Jahren wurde aber bewiesen, dass SH unabhängig von ZFC ist, d.h. im Falle der Konsistenz von ZFC ist sowohl ZFC + SH als auch ZFC + nicht-SH konsistent. Ein Gegenbeispiel zu Souslins Hypothese nennen wir eine Souslingerade, die assoziierten vollständigen Booleschen Algebren Souslinalgebren. Das wichtigste technische Hilfsmittel sind hier die sog. Souslinbäume. Ist B eine Souslinalgebra, so sind alle maximalen Ketten von B Souslingeraden. Unsere Ausgangsfrage lässt sich nun wie folgt umformulieren: Ist es konsistent relativ zu ZFC, dass es eine kettenhomogene Souslinalgebra gibt? Als Hauptresultat ist die positive Beantwortung dieser Frage anzusehen. Unter Annahme der Theorie des Axioms Karo-plus, welches konsistent ist relativ zu ZFC, gebe ich u.a. die Konstruktion einer kettenhomogenen Souslinalgebra mit maximalen Homogenitätseigenschaften und auch die Konstruktion einer großen, kettenhomogenen Souslinalgebra B an, d.h. B wird von keiner Teilmenge der Mächtigkeit Aleph_1 vollständig erzeugt. Um diese Konstruktionen zu ermöglichen, habe ich die bestehende Darstellungstheorie für Souslinalgebren ausgebaut und konnte diese anwenden, um eine Strukturtheorie für reguläre Einbettungen zwischen Souslinalgebren zu entwickeln und für bestimmte Klassen von Souslinbäumen (stark homogen bzw. voll) die bestehende Strukturtheorie erweitern.