In der vorliegenden Arbeit werden graphentheoretische Eigenschaften von Durchschnittsgraphen von Pseudosegmenten, auch Pseudosegmentgraphen genannt, bestimmt. Dabei verstehen wir unter einer Menge von Pseudosegmenten eine endliche Menge von Jordankurven in der Euklidischen Ebene, für die gilt, dass sich je zwei Kurven in höchstens einem Punkt treffen, der entweder ein Kreuzungspunkt oder ein Endpunkt einer Kurve ist. Pseudosegmentgraphen gehören zur Klasse der Kurvengraphen, die 1966 von Sinden eingeführt wurden. Bekannte Beispiele von Kurvengraphen sind chordale und planare Graphen, Unvergleichbarkeitsgraphen und Segmentgraphen. Im Jahre 1984 stellte Scheinerman die Vermutung auf, dass jeder planare Graph ein Segmentgraph ist. Diese Vermutung erregte das Interesse vieler Forscher, konnte aber erst im Jahr 2009 bestätigt werden. Eine weitergehende Vermutung von West aus dem Jahre 1991 besagt, dass jeder planare Graph eine Segmentdarstellung besizt, in der die Segmente in höchstens vier Richtungen liegen. Dies ist weiterhin offen. Diese Vermutungen veranlassten uns, Teilklassen von planaren Graphen, insbesondere serien-parallele Graphen, zu betrachten. Unser Ergebnis zeigt, dass jeder serien-parallele Graph eine Segmentdarstellung besitzt, in der die Segmente in höchstens drei Richtungen liegen. Zur Unterscheidung von Pseudosegment- und Segmentdarstellungen betrachten wir streckbare und nichtstreckbare Arrangements von Pseudogeraden. Darauf aufbauend leiten wir eine Konstruktion her, die Pseudosegmentgraphen erzeugt, die keine Segmentgraphen sind. Im Anschluss beschäftigen wir uns mit der Beziehung von chordalen und Pseudosegmentgraphen. Zum einen zeigen wir, dass Pfadgraphen Pseudosegmentgraphen sind. Und zum anderen stellen wir chordale Graphen vor, die keine Pseudosegmentgraphen sind; diese lassen sich zudem zur Beschränkung der gemeinsame Teilklasse von chordalen und Pseudosegmentgraphen verwenden. Im letzten Teil der Arbeit werden wir Trapezgraphen, eine Teilklasse von Unvergleichbarkeitsgraphen, betrachten und Pseudosegmentdarstellungen von Intervalgraphen, Punkt-Interval-Graphen und zwei weiteren Typen von Trapezgraphen konstruieren.
In this thesis we investigate graph-theoretic properties of intersection graphs of pseudosegments. In this context, a set of pseudosegments is a set of Jordan curves in the Euclidean plane, where any two curves have at most one points of intersection where they cross. Pseudosegment graphs form a subclass of the class of string graphs which were introduced in 1966 by Sinden. Examples of string graphs are chordal graphs, planar graphs, cocomparability graphs and segment graphs. In 1984, Scheinerman conjectured that every planar graph was a segment graph. This conjecture initiated a lot of research and was confirmed in 2009 by Chalopin and Goncalves. This conjecture was strengthened by a conjecture of West, that every planar graph has a segment graph consisting of segments of at most four directions. These conjectures motivated us to consider subclasses of planar graphs. We show that every series-parallel graph has a segment representation with segments of at most three directions. To illustrate the difference between pseudosegment and segment graphs we consider pseudoline arrangements. This results in a construction that yields pseudosegment graphs that are not segment graphs. We then consider chordal graphs in view of pseudosegment representations, and show that every path graph is a pseudosegment graph. In the latter we define two families of chordal graphs that are not pseudosegment graphs. In the latter we determine cocomparability graphs that are pseudosegment graphs. Among these are interval graphs, point-interval graphs and two further subclasses of trapezoid graphs.
