Cohomology rings of arrangements

Abstract

This thesis is concerned with homotopy and homology properties of subspace arrangements. An arrangement A in a topological space X is a finite set of subspaces of X. A goal in the study of arrangements is the description of the union and the complement of A.

The main result of this work is the description of the cohomology ring of the complement of an arrangement of linear subspaces of a complex projective space. Since the additive structure of the ring has been determined by Goresky and MacPherson, this amounts to determining cup products. This is done by a formula of the kind which for affine arrangements has been given and proved for rational coefficients by Yuzvinsky. It is presented in a form in which it has in the affine case been proved for integral coefficients and generalized to certain real arrangements by de Longueville and the author.

The first chapter is concerned with arrangements in topological spaces in general. It starts with a brief presentation of results on diagrams of spaces that have been seen to be useful in the study of homotopy properties of arrangements by Ziegler and Živaljević. We then develop an analogous theory of diagrams of chain complexes which gives some additional flexibility in the study of homology properties of arrangements. This introduces the spectral sequence that we use in the last section of the first chapter to derive a product formula for the cohomology ring of an arrangement in a manifold. Due to its generality this formula cannot describe the ring completely. It is graded in the sense that it determines products only up to terms of lower degree in the defining filtration of the spectral sequence.

The second chapter deals with linear arrangements, affine as well as projective. The methods of the first chapter are applied and yield a variety of homology formulas and some homotopy formulas. Graded product formulas for affine and projective arrangements are proved. It is shown that they allow inductive proofs of exact formulas if products vanish in certain cases. The necessary vanishing result for affine arrangements is obtained by a simple geometric argument. The corresponding result for projective arrangements is considerably harder. Its proof is the technical heart of this work. Finally we use, in the spirit of Yuzvinsky, the product formula for projective arrangements to derive from it presentations of the cohomology rings of a certain special class of complex projective arrangements, which generalize the description of the cohomology rings of hyperplane arrangements by Orlik- Solomon rings.

Diese Dissertationsschrift befasst sich mit Homotopie- und Homologieeigenschaften von Arrangements. Ein Arrangement A in einem topologischen Raum X ist eine endliche Menge A von Unterräumen von X. Ein Ziel beim Studium von Arrangements ist die Beschreibung der Vereinigung und des Komplements von A.

Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Beschreibung des Kohomologierings des Komplements eines Arrangements von linearen Unterräumen eines komplexen projektiven Raumes. Da die additive Struktur des Rings bereits durch Goresky und MacPherson bestimmt wurde, kommt es hier auf die Beschreibung der Produkte an. Dies geschieht durch eine Formel wie sie von Yuzvinsky für komplexe lineare Arrangements angegeben und für rationale Koeffizienten bewiesen wurde. Die Darstellung der Formel ist wie in einer gemeinsamen Arbeit von de Longueville und dem Autor, in der die Formel für den linearen Fall für ganzzahlige Koeffizienten bewiesen und auf gewisse reelle Arrangements verallgemeinert wurde.

Das erste Kapitel behandelt Arrangements in allgemeinen topologischen Räumen. Es werden zuerst kurz Ergebnisse über Diagramme von Räumen dargestellt, die von Ziegler und Živaljević als für das Studium von Homotopieeigenschaften von Arrangements als nützlich erkannt wurden. Wir entwickeln dann eine analoge Theorie von Diagrammen von Kettenkomplexen, um beim Studium von Homologieeigenschaften mehr Freiräume zu haben. Dabei tritt zentral eine Spektralsequenz in Erscheinung, die wir im letzten Abschnitt des ersten Kapitels nutzen, um für Arrangements in Mannigfaltigkeiten eine Produktformel für den Kohomologierings des Komplements herzuleiten. Dadurch, dass sie so allgemein gilt, kann sie aber den Ring nicht vollständig beschreiben. Sie ist gradiert in dem Sinne, dass sie Produkte nur bis auf Terme niedrigerer Filtrierungsstufen im Sinne der Spektralsequenz bestimmt.

Das zweite Kapitel widmet sich linearen Arrangements, affinen wie projektiven. Zunächst werden die Methoden des ersten Kapitels angewandt, um diverse Homologie- und einige Homotopieformeln auf einheitliche Weise zu gewinnen. Dann werden gradierte Produktformeln für affine und projektive Arrangements bewiesen. Es wird gezeigt, dass sich aus ihnen induktiv exakte Formeln gewinnen lassen, wenn sich das Verschwinden von Produkten in gewissen Fällen sicherstellen lässt. Dies ist für affine Arrangements durch ein einfaches geometrisches Argument zu bewerkstelligen. Für projektive Arrangements ist es deutlich schwieriger, dies ist das technische Herz dieser Arbeit. Schließlich wird die Produktformel für projektive Arrangements im Geiste Yuzvinskys genutzt, um aus ihr eine Präsentierung des Kohomologierings nach Orlik- Solomon-Art für eine spezielle Klasse komplexer projektiver Arrangements abzuleiten.