Boundary value problems for tri-harmonic functions in the unit disc

Abstract

The Poisson equation is one of the basic partial differential equations. It is the prototype for a whole class of model equations, the polyharmonic differential equation which is sometimes also called n-Poisson equation. In the two-dimensional case complex analysis is a natural tool for treating it. The advantage then is that the Laplace operator factorizes using the Cauchy- Riemann operator. In recent years the n-Poisson equation was treated repeatedly by Prof. Begehr and his collaborators. In a series of papers various boundary value problems in different domains were studied. Cauchy- Pompeiu integral representations of arbitrary order are attained by applying a natural iteration process. However these formulas are in general not proper for solving boundary value problems. Introducing polyharmonic Green functions these integral representation formulas are transformed in some others which solve certain boundary value problems. The higher the degree the more poly- harmonic Green functions exist. Some of them can be found by convoluting Green functions of lower order. For particular domains these convolutions can be calculated and the polyharmonic Green functions are attained in explicit form. On this way in the thesis a tri-harmonic Green and a tri-harmonic Neumann function are constructed for the unit disc. The respective harmonic and bi- harmonic functions are known already. It is a contribution for determining polyharmonic Green and Neumann functions of arbitrary order in the unit disc where at first the respective formulas have to be conjectured. Using the tri- harmonic Green and Neumann functions the related boundary value problems are solved. Moreover, some hybrid tri-harmonic Green functions are introduced and related boundary value problems treated. In an appendix a singular linear complex partial differential equation of Fuchs type with tri-analytic leading part is investigated.

Eine der grundlegenden partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik ist die Poisson Gleichung. Sie ist der Prototyp für eine ganze Klasse von Modellgleichungen, den polyharmonischen Differentialgleichungen, auch n-Poisson Gleichungen genannt. Im zweidimensionalen Fall bietet sich die komplexe Analysis zur Behandlung an. Ihr großer Vorteil ist es, dass sich der Laplace Operator mittels des Cauchy-Riemann Operators faktorisieren lässt. Im Komplexen ist die n-Poisson Gleichungen in den letzten Jahren in der Gruppe von Professor Begehr wiederholt untersucht worden. In einer Reihe von Arbeiten sind verschiedene Randwertprobleme in unterschiedlichen Gebieten behandelt worden. Mittels eines natürlichen Iterationsprozesses lassen sich Cauchy- Pompeiusche Integraldarstellungsformeln beliebiger Ordnung gewinnen. Die sind allerdings zur Lösung von Randwertproblemen im Allgemeinen ungeeignet. Die Einführung polyharmonicher Green Funktionen transformiert diese Integraldarstellungen in solche, die gewisse Randwertprobleme lösen helfen. Je höher der Grand umso mehr polyharmonische Green Funktionen gibt es. Einige von ihnen lassen sich durch Faltung von Green Funktionen niedrigerer Ordnung gewinnen. Für spezielle Gebiete kann man diese Faltungsintegrale auswerten und so explizite polyharmonische Green Funktionen erhalten. In dieser Arbeit werden in der genannten Weise eine triharmonische Green und eine triharmonische Neumann Funktion für den Einheitskreis konstruiert. Die entsprechenden harmonischen und biharmonischen Funktionen sind explizit bekannt. Dies ist ein Beitrag zur induktiven Bestimmung von polyharmonischen Green und Neumann Funktionen beliebiger Ordnung für den Einheitskreis. Es gilt zunächst, die entsprechende Induktionsbehauptung aufzustellen. Mit Hilfe der gewonnen triharmonischen Green und Neumann Funktionen werden die zugehörigen Randwertprobleme gelöst. Darüber hinaus werden einige hybride triharmonische Green Funktionen eingeführt und die zugehörigen Randwertprobleme gelöst. In einem Anhang wird eine singuläre lineare komplexe partielle Differentialgleichung vom Fuchs Typ mit trianalytischem Hauptteiloperator behandelt.