Blow-up in complex time

Abstract

Scalar reaction-diffusion type partial differential equations (PDE) exhibit a phenomenon called blow-up. A solution blows-up in finite time if it ceases to exist in the solutions space, i.e. the norm grows to infinite. On the other hand, in reaction-diffusion type PDE there exists the notion of global attractor, the maximal compact invariant set, that attracts all bounded solutions. In this thesis we study a hidden kinship between solutions in the global attractor and blow-up solutions in analytic PDEs by allowing for complex time. \\\ In the first chapter we prove that heteroclinic orbits in one-dimensional unstable manifolds are accompanied by blow-up solutions. Furthermore, we study in more detail the quadratic nonlinear heat equation \\[ u_t = u_{xx} + u^2, \\] and the heteroclinic orbit starting from the unique positive equilibrium. In this setting we show, that blow-up solution can be continued back to the real axis after the blow-up, but continuations along different time paths do not coincide. The proof relies on analyticity of unstable manifolds. This does not hold for center manifolds. In the second chapter we show that in special cases we can continue one-dimensional center manifolds of PDEs to sectors in the complex plane. \\\ Using the result of the second chapter, we prove the existence of blow-up solutions of PDEs in the presence of one-dimensional non-degenerate center manifolds.

Skalare partielle reaktions-diffusions Differentialgleichungen (PDE) weisen das Phänomen des \enquote{blow-ups} auf. Eine Lösung \enquote{blows-up} in endlicher Zeit, falls sie aufhört im Lösungsraum der PDE zu existieren, also die Norm gegen unendlich geht. Auf der anderen Seite existieren globale Attraktoren - sie sind die maximale, kompakte und invariante Menge, die alle beschränkten Lösungen anzieht. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir den Zusammenhang des globalen Attraktors und \enquote{blow-up} in analytischen PDEs durch die Benutzung von komplexer Zeit. In dem ersten Kapitel zeigen wir, dass heterokline Lösungen auf eindimensionalen instabilen Mannigfaltigkeiten zusammen mit einem \enquote{blow-up} Orbit kommen. Wir studieren weiterhin die quadratische nichtlineare Wärmeleitungsgleichung \\[ u_t = u_{xx} + u^2, \\] und den heteroklinen Orbit, der von dem eindeutigen Gleichgewicht startet. In diesem Beispiel sind wir in der Lage zu zeigen, dass der \enquote{blow-up} Orbit durch die komplexe Zeit am \enquote{blow-up} Zeitpunkt vorbei zurück auf die reelle Zeitachse fortgesetzt werden kann. Allerdings müssen die Fortsetzungen entlang verschiedener komplexer Zeit Pfade nicht übereinstimmen. Der Beweis benutzt die Analytizität der instabilen Mannigfaltigkeit. Zentrumsmannigfaltigkeiten hingegen sind nicht analytisch. Dennoch können wir im zweiten Kapitel zeigen, dass sich eindimensionale PDE Zentrumsmannigfaltigkeiten in speziellen Fällen in Sektoren der komplexen Ebene fortsetzen lassen. \\\ In dem dritten Kapitel zeigen wir unter der Verwendung der Resultate des zweiten Kapitels die Existenz von \enquote{blow- up} Lösungen auf eindimensionalen Zentrumsmannigfaltigkeiten.