The DeWitt equation in Quantum Field Theory and its applications

Abstract

In this work we looked at a functional di erential equation, written down by Bryce De-Witt, which is an equation for the E ective Action in Quantum Field Theory. The goal was to solve this equation, which gives a di erent perspective to approach Quantum Field Theory, than the usual path integral approach. In our work, we were able to write a formal solution for this equation, in terms of a loop expansion. It is formal in the sense, that all the parameters in the solution are bare parameters, and not renormalized ones. In this context we also discussed some problem with de ning the equation itself. Luckily for some eld theories, there is no need for renormalization, as they are completely free of divergences. These are some special supersymmetric theories. We employed this technique for writing down the E ective Action for the N = 1 Wess Zumino model in 2 dimensions, which is a nite model, and checked it to 2-Loops i.e. to order h-bar squared. Then we tried to employ this solution for N = 4 Super Yang Mills theory in 4 dimensions, but due to lack of an o ff-shell superspace formalism for this model, we were not able to do this, although we discussed some possible ways of doing this in Light Cone superspace formalism, and its momentum representation. Next we used this equation to study Liouville Field theory. This being a very important 2 dimensional conformal field theory, which has been much studied in the past few years, although there are some open points which are not yet understood. We employed this equation to analyze some of this questions. Firstly we wrote down the zero mode Schwinger Dyson equation (equivalent to the DeWitt equation). Then using this we were able to analyze the pole structure of the correlation functions of primary operators in this theory. Arguing the existence of another dual equation, we were able to shed some light on the structure of the correlation functions in this theory, from a very di erent perspective. During the course of this, we will introduce some relevant concepts, which will be useful in our discussion of the calculations and results. In the end we conclude with discussion of the results and some open questions, which we would like to address in the future.

Diese Arbeit behandelt eine Funktional-Dierentialgleichung für die effektive Wirkung von Quantenfeldtheorien, erstmals hergeleitet von Bryce de Witt. Das Ziel war es, diese Gleichung, die einen alternativen Zugang zu Quantenfeldtheorien bietet, zu lösen. In dieser Arbeit ist es gelungen, eine formale Lösung dieser Gleichung in Form einer Schleifenentwicklung zufinden. Die Lösung ist insofern formal als sie die nackten, also nicht renormierten Parameter enthält. In diesem Zusammenhang werden weiters einige Probleme diskutiert, die bei der Definition der Gleichung selbst auftreten. Glücklicherweise ist Renormierung für gewisse Feldtheorien nicht erforderlich, die frei von Divergenzen sind, wie etwa einige spezielle supersymmetrische Theorien. Die eingangs erwähnten Techniken werden angewandt, um die effektive Wirkung des N = 1 Wess-Zumino-Modells in zwei Dimensionen zu ermitteln. Das Ergebnis wurde bis zur 2-Schleifen-Ordnung, also bis zur Ordnung h-quer zum Quadrat überprüft. Der Versuch, diese Lösung auch auf die supersymmetrische N = 4 Yang-Mills-Theorie anzuwenden, scheiterte in Ermangelung eines on- shell- Superraum-Formalismus für dieses Modell, und es wurden lediglich einige mögliche Lösungswege über den Lichtkegel-Superraum- Formalismus und seine Impulsraumdarstellung diskutiert. Weiters wurde die de Witt-Gleichung auf die Liouville-Feldtheorie angewandt, eine wichtige zweidimensionale konforme Feldtheorie, die in den letzten Jahren trotz offener Probleme häufig diskutiert wurde. Einige dieser offenen Punkte wurden mithilfe der de Witt- Gleichung analysiert. Mit der Schwinger-Dyson-Gleichung der nullten Mode, die äquivalent zur de Witt-Gleichung ist, war es möglich, die Polstruktur der Korrelationsfunktionen der primären Operatoren dieser Theorie zu untersuchen. Die Existenz einer dualen Gleichung gibt weitere Aufschlüsse über die Struktur der Korrelationsfunktionen dieser Theorie von einer sehr unterschiedlichen Perspektive. Im Zuge dieser Erörterungen werden einige relevante Konzepte eingeführt, die für die durchgeführten Berechnungen und die Diskussion der Ergebnisse von Nutzen sind. Die Dissertation endet mit einer Interpretation der Resultate und einem Ausblick auf offene Fragen, die in zukünftigen Arbeiten behandelt werden sollen.